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1、3.3.3 -3.3.4点到直线的距离、两条平行直线间的距离(教学设计)教学目标:1. 知识与技能：1) 理解点到直线距离公式的推导，2) 熟练掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间距离；2. 过程与方法经历两点间距离公式的推导过程，会用点到直线距离公式求解两平行线距离3. 情感、态度与价值观：认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题教学重点、难点重点：点到直线的距离公式.难点：点到直线距离公式的理解与应用.教学过程(一) 创设情境，导入新课前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐 步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方
2、法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线 l的距离。用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让 学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一点到直线的距离计算？能否用两点间距离公式进行推导？(二) 师生互动，探究新知1.点到直线距离公式及其推导：点 P(x , y )到直线 l: Ax + By + C = 0 的距离为：d，0_0。0 0VA2+B2(1)提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0, y 0)，直线方程中A=0或B=0时，怎样用点的坐标和直线 的方程直接求点P到直
3、线l的距离呢？学生可自由讨论。(2)数行结合，分析问题，提出解决方案学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长.这里体现了 “画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。方案一：B，一设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q,由POU l可知，直线PQ的斜率为二（A/0），根据点斜式写出直线PQA的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出IPQI，得到点P到直线l的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A/0，BN0，这时l与x轴
4、、J轴都相交，过点P作%轴的平行线，交l于点R31, *）；作J轴的平行线，交l于点5（%,即，Ax + By + C = 0Ax + By + C = 002_ B* C_-Ax-C_A，y 2B所以，IPR| = I x0 - x1 1 =IPSI = ! y 0 - y 2 -Ax + By + C0_AAx + By + C0_B A 2 + B 2|RS|= J PR 2 + PS 2 =XI Ax 0 + By 0 + C |由三角形面积公式可知：d|RS| = |PR|PS|所以d=境+叫+CVA 2 + B 2可证明，当A=0时仍适用（三）公式识别，巩固提高.例1（课本P107
5、例5）求点P= （-1，2）到直线3x=2的距离。3 x(1) 2|_解：d=.32 + 02变式训练1 （课本P108练习NO： 1； 2）例2 （课本P107例6）已知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求三角形ABC的面积。解：设AB边上的高为h，则S ABC =1 AB h2AB| = J(3-1)2 +(1-3)2 = 22，AB边上的高h就是点C到AB的距离.y 3 X 1AB边所在直线方程为= 即x+y-4=0。1 33 1点C到X+Y-4=0的距离为h=|-1 + 0 - 4|_ 512 +1 克因此，S= 2X 2一2 x = 5通过这两道简单的例题，使学生能
6、够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的 优越性。例3求两平行线:2x + 3y 一 8 = 0，匕:2尤+ 3y -10 = 0的距离.解法1：在直线上取一点P（4，0），因为l l，所以点P到l的距离等于l与l的距离.于是 122122 X 4 一 3 X 0 +10d =,22 + 32新问题：平行直线间距离如何求？。已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1:仙+ 8y + q =0，1 : Ax + By + C = 0，则 l 与 l 的距离为 d = I. 12 212A 2 + B 2证明：设驰0,y0）是直线Ax + By + C2= 0上任一
7、点，则点到直线Ax + By + C1 = 0的距离为d Ax + By + C又 Ax 0 + By 0 + C 2 = 0即Ax + By =-C，.d=002vA2+B2上述例3的解法2： l 12又C=-8,C2=T0.一 8 一（一10）2、3由两平行线间的距离公式得d =V22 + 3213变式训练3： （1）（课本P108例7）已知直线l2x-7y-8 = 0,l2:6x-21 y-1 = 0，与l2是否平行？若平行，求与l2间的距离。分析：两直线是否平行就看其斜率是否相等。若平行，与l2间的距离可利用上例的方法求得。262生：(讨论后解答)解:11的斜率k1= , 12的斜率k
8、2 = 21 =，即:k1 = k2点A (4, 0)到直线l2的距离为:6 x 4 - 21x 0 -123d =所以l l。在直线l上任取一点A (4, 0), 121_癸痂62 + 2123,53 159所以l1与l2间的距离为 寿53。(2)(课本 P109 练习 NO： 1)例4： (tb2509501)两条直线匚：ax-by+4=0和L2： (a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值:(1) 直线 L11 L2 且 L1 过点(-3,-1)；(2) 直线L1/L2且坐标的原到这两条直线的距离相等。(答：(1) a=2,b=2； (2) a=2,b=2 或 a= 3 ,b=
9、2)变式训练4： (tb1808205)直线L的方程是y=3x-4，试求直线L1的方程，使L与L1：(1)关于x轴对称；(2)关于y轴对称；(3)关于原点对称；(4)关于直线y=x对称。(答:(1) y= -3x+4； (2) y= -3x-4 ； (3) y=3x+4； (4) x=3y-4)(四) 课堂小结，巩固反思：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式(五) 课时必记：1、点 P(x , y )到直线 l: Ax + By + C = 0 的距离为：d = *0 0 0履 2 + B 22、已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为
10、l1: Ax + By + C1 = 0，l2 : Ax + By + C2 = 0，则l1与12的距离为d =C1C =vA 2 + B 2特别注意：x与y的系数应化为相等。(六) 布置作业A组：1、（课本 P109 习题 3.3 A 组：NO： 9）2、（课本 P109 习题 3.3 A 组：NO： 10）3、（课本P114复习参考题A组：NO： 10）4、（课本P114复习参考题A组：NO： 11）B组：1、（课本 P109 习题 3.3 A 组：NO： 2）2、（课本 P109 习题 3.3 A 组：NO： 4）3、（课本 P109 习题 3.3 A 组：NO： 9）4、（课本P114复习参考题 B组：NO： 4）5、（课本P114复习参考题 B组：NO： 10）
