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1、1.3.1极坐标系教学目标 :一、知识与技能： 知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；二、方法与过程借助生活中的实例引入极坐标的概念； 比较点在极坐标系和平面直角坐标系中 的坐标关系三、情感、态度与价值观 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别； 教学重点 : 极坐标（ ， ）与平面上的点的关系 教学难点： 极坐标（ ， ）与平面上的点的关系；教学过程一、新课引入：直角坐标系是最常用的坐标系， 但它不是用数来刻画点的位置的唯一方法， 用哪种 方法最方便，要对具体问题作具体分析。如力所示，缉私观测站位于点 O 处，看到们于点 A 处的走私船正在逃跑，现停 泊于点0处的缉私船追击走私船，
2、随时需要观测站提供走私船所在的位置P。对船舶来说，最方便的数据不是走私船所在点的直角坐标（ x， y ），而是它的方位角， 即夹角 。在航空和航海中的情况都是这样。当用炮兵指挥仪指示射击目标时，输出的是目标方位，即方向和距离。在日常 生活中，我们也经常用距离和角度指示位置。用距离和方向刻画点的位置，这是建 立极坐标系的基本思路。、讲解新课 ：在平面内取定一点 0, 0点叫作极点：从 0起引一条射线 Ox，这条从极点起 的射线Ox叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向）这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。对于平面上的一个点 M，连接极点0与M，线段
3、0M之长 叫作M点的极径（或矢径、或向径），极轴0X为始边按逆时针转到 0M的角 叫作M点的极角， 有序数对（，）叫作M点的极坐标。当M在极点时，它的极径=0，极角 可取任何实数。在极坐标系中，若无特殊声明，是非负实数，0,，（,）。当0,0, 2时，平面上的点与极坐标一一对应。事实上，对给定的与，由极坐标（，）可以唯一地确定一个点 M，但是反过来，平面上给定一）的定义，对点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。根据点的极坐标（ 于给定的点，它的极径 是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种， 如果我们写出了它的极坐标（，），卩（， 2n ）也是这个点的极坐标，其中n是任意整数，当n 0时， 2n
4、表示从该 点起绕极点 0逆时针转动了 n圈又回到原处，当 n 0时， 2n表示从该点起绕极点 0顺时针转动了 n圈又回到原 处。三、范例讲解3例1、在极坐标系中，画出点 A（ 1，），B （2,）C（ 3，429 、）D（ 4，）443解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即一线， 线， 一线,424线,9线和线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。44指出：我们也可以允许0 ,此时极坐标（）对应的点M的位置按下面规则确定：点 M在与极轴成 角的射线的反向延长线上，它到 极为0的距离| 即规定当0时，点 M （,）就是点（, ）例2、如图在极坐标系中，写出点 A，B，C,
5、的极坐标,TS1JL克解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。如图点A与极点0的距离为了，且在极轴上，所以A4的极坐标为（1，0），同样可求得B，C的极坐标分别为（4，一），（ 5， ）23指出：已知点的位置求极坐标时，如果没有特殊要求，只要求一个解就可以了，由于点的极坐标的多值性，在需要写出通式的时候，求出一个解（，）后，再写出其通式（， 2n ）或（，（2n1）例3、已知点Q（，），分别按下列条件求出点 P的极坐标。（1）M是点Q关于极点的对称点：（2）N是点Q关于直线一的对称点2解：（1）由于M、Q关于极点对称得它们的极径 OQ=O
6、M，极角角相差（2n1），所以点M的极坐标为（2n 1）或（2n ）（ n Z）（2）由于点Q、N关于直线的对称，得它们的极径 OQ=ON，点N的极角2满足2n所以点N的极坐标为（2n )或（ ，2n ） （n Z）例4、已知两点的极坐标求AB两点间的距离；AB与极轴正方向所成的角。解法一：根据极坐标的定义，可得|OA|=|OB|=3，/ AOB=,35即厶AOB为等边三角形，所以|AB|=3，/ ACX= 6法二： A、B两点的极坐标分别为（3, ）, （3,）,2 6 |OA|=|OB|=3，/ AOC= ，/ BOC= 了2 6AOB=,3在厶AOB中，由余弦定理可得| AB| ,|0A
7、|2 |OB|2 2|OA|OB|cos AOB32322 3 3COS =33即厶AOB为等边三角形,5/ ACX= / AOC+ / OAB= 6四、巩固练习：1、已知两点的极坐标P (5,),Q (1,),求线段PQ的长度442、已知点A的极坐标5(6,）分别写出给定条件下点A的极坐标3若0,;则A若0, 0 2，则A若0,20 ,则A五、小结，则1、要注意直角坐标与极坐标的区别，直角坐标系中平面上的点与有序数对（x , y ）对应的，在极坐标系中，平面上的点与有序数对（）不是一一对应，只有在规定 0, 0, 2 的前提下，并除极点外，点与极坐标之间才一一对 应，在解题时要注意极坐标的多
8、种表示形式。2、一般地，极坐标（， ）与（ ， 2n ）表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为（ 0， ）和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示。六、课后作业：课本 24 页 习题 2， 4，教学反思：1.3.2极坐标系教学目标 :一、知识与技能： 知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；掌握简单图形（过极点的直线、圆心 在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程二、方法与过程 借助生活中的实例引入极坐标的概念；研究简单图形的极坐标方程的特点； 比 较简单图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。三、情感、态度与价值观 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区
9、别； 体会在用方程刻画 平面图形时选择适当坐标系的意义；通过阿基米德螺线，感受数学的文化价值。 教学重点 : 几类简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点 的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程 教学难点： 几类简单图形的极坐标方程的推导 教学过程一、新课引入：1、在平面内取定一点 O，O 点叫作极点：从 O 起引一条射线 O x ，这条从极点 起的射线 O x 叫作极轴； 选定长度单位， 再选定角度的下方向 （逆时针转角为正向） ， 这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。建立极坐标 系的要素是：极点、极径、长度单位、角度单位和它的正方向2、对于平面上的一
10、个点 M ,连接极点0与M ,线段0M之长 叫作M点的极 径（或矢径、 或向径），极轴 O x 为始边按逆时针转到 OM 的角 叫作 M 点的极角， 有序数对（ ， ）叫作 M 点的极坐标。当在建立了极坐标系的平面内给定一个 点时，这个点的极坐标却不上唯一确定的，它可以有无数多种表示。3、一般说来，由点求极坐标时，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，并给出正号，然后按照它所在的直线的位置求出极角。、讲解新课在平面直角坐标系中，许多曲线的方程变得十分简洁，而且几何形象也表达得十分明确。所谓曲线L的极坐标方程是指 L上的动点的极坐标的极径与极角满足的方程 f ()或F( , )01、过极点直线的
11、极坐标方程在平面直角坐标系中，过原点0的直线方程形如：y kx，其中k是实数，叫作斜率，k tan ,是此直线与 Ox轴的夹角，这个角是多大，一般从 k上不易看出来，需要计算 arctan 。但在极坐标中，我们取Ox的正方向为极轴，则过极点O的射线方程写成0 ( 00,2)如果我们充许极径取负值，约定M (,)关于极点对称点 N的极坐标写)，于是过原点与x轴夹角为0的直线的极坐标方程为如与x轴夹角为一过原点的直线的极坐标方程为=442、圆心在极点的圆的极坐标方程=r方程 =r。的含义是动点的极径恒为 r。，是个常数；而方程 示 可以任意变化，当极径是常数，极角任意时，即动保持与=r无极角，表O
12、点等距地转动，这正是圆规在画圆。3、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程如图中画的是过极点，其中心在极轴的圆，设其半径为r0设此圆上任取一点 M的极坐标为(径，所以/ OMA=，于是2OMOACOS ，即 COS 从而2r0)，由于OA是直得与满足的方程为:=2 r cos4、阿基米德螺线一个动点M随时间的增加绕定点 O逆（或顺）时针匀速绕动，同时离O点越来越远，它远离 0点的直线距离也是匀速增长的，如果把0点定为极坐标的极点，M与0点的直线距离就是向径，转角就是极角，由于 与 的增加所用的时间是一致的，设开始时，动点在极点，则时间t为t 般地，将该式写成(0)（, 0）（0）表示的曲线叫作阿基
13、米德螺线，由于它向径的扩张与转角的变化皆为等速的，所以也称其为等速螺线。三、范例讲解例1、（ 1）求过点A（ 2,）且平行于极轴的直线的极坐标方程;43（2）过点A（ 3,）且和极轴成 角的直线的极坐标方程34思路点拔：在已给极坐标系中，要想求直线的极坐标方程，就必须先寻找到几何等式。按照常规思路需构造关键三角形，利用关键三角形的边角关系引出几何意义。解法一：如图，在直线I上任取一点 M （,）/ OAM=（或一）44/ OMA=(或)在厶OAM中由正弦定理得：2sin. “、si n()4sin2在厶 OAM 中 |OA|=2|OM|=解法二：如图在直线I上任取一点 M（）过M作MH丄极轴于
14、H点,|MH|=2 sin = . 24在 RT OHM , |HM|=|OM| sin即 sin、2(2)Z MBx=33，/ OAB=44(令)-3 12在厶MOA中,根据正弦定理sin.5sin -12化简得直线l的极坐标方程为：（sinCOS )3332本题利用三角形法求出了直线方程，三角形法的步骤是：先根据题意作出（寻找） 关键三角形，利用解三角形的知识列出几何等式，再将几何等式坐标化，化简、整 理即得所求直线的极坐标方程。例2、在极坐标系中，求以Q （ r ,解：由已知条件可知，此圆过极点。设点 交圆于点N，则ON为圆的直径，连结/ NOM=|ON|=2 r |OM|=|OM| cos（ ） 即 =2 r）为圆心，以r为半径的极坐标方程这就是所求的圆的极坐标方程。四、巩固练习1、设极点O到直线l的距离为d，由点O向直线I作垂线OA，由极轴到垂线 OA的角度为（如图所示）求已知直线I的极坐标方程2、判断两圆cos 3 si
