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1、第9讲圆锥曲线的综合问题最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知 识 梳 理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，即消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C相离.(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个
2、交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)如果直线xtya与圆锥曲线相交于A(x1，y1)
3、，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|y1y2|.()(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式0.()解析(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.(5)应是以l为垂直平分线的线段AB所在的直线l与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式0.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定解析直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1，
4、1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.答案A3.若直线ykx与双曲线1相交，则k的取值范围是()A. B.C. D.解析双曲线1的渐近线方程为yx，若直线与双曲线相交，数形结合，得k.答案C4.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析过(0，1)与抛物线y24x相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点.答案C5.已知F1，F2是椭圆16x225y21 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1PF2，则F1PF2的面积为_.解析由题意可得|PF1|PF2|2
5、a20，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2144(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2022|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|128，所以F1PF2的面积为|PF1|PF2|12864.答案646.(2017嘉兴七校联考)椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B，当m_时，FAB的周长最大，此时FAB的面积是_.解析设椭圆1的右焦点为F，则F(1，0)，F(1，0).由椭圆的定义和性质易知，当直线xm过F(1，0)时FAB的周长最大，此时m1，把x1代入1得y2，y，SFAB|F1F2|AB|233.答案13第1课时直线与圆锥曲线考点一直线与圆锥曲线的位置关系
6、【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1，0)，且点P(0，1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程.解(1)椭圆C1的左焦点为F1(1，0)，c1，又点P(0，1)在曲线C1上，1，得b1，则a2b2c22，所以椭圆C1的方程为y21.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykxm，由消去y，得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得2k2m210.由消去y，得k2x2(2km4)x
7、m20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2，1)，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围.解(1)设点M(x，y)
8、，依题意|MF|x|1，|x|1，化简得y22(|x|x)，故轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x(x0)；C2：y0(x0).依题意，可设直线l的方程为y1k(x2).由方程组可得ky24y4(2k1)0.当k0时，此时y1.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.当k0时，方程的16(2k2k1)16(2k1)(k1)，设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.()若由解得k1，或k.所以当k1或k时，直线l与曲线C1没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. ()若即解集
9、为.综上可知，当k1或k或k0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点.考点二弦长问题【例2】 (2016四川卷)已知椭圆E：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值.(1)解由已知，ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2，1).
10、(2)证明由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2)，由0，解得m.由得x1x2，x1x2.所以|PA|，同理|PB|.所以|PA|PB|m2.故存在常数，使得|PT|2|PA|PB|.规律方法有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.【训练2】 已知椭圆1(ab0
11、)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0).(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程.解(1)由题设知解得a2，b，c1，椭圆的方程为1.(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，由d1，得|m|.(*)|CD|22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230，由根与系数关系可得x1x2m，x1x2m23.|AB|.由，得1，解得m，满足(*).直线l的方程为yx或yx.考点三中点弦问题【例3】 (1)已知椭圆E：1(ab0)
12、的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)已知双曲线x21上存在两点M，N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y218x上，则实数m的值为_.解析(1)因为直线AB过点F(3，0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3，选D.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.3
13、，即kMN3，M，N关于直线yxm对称，kMN1，y03x0.又y0x0m，P，代入抛物线方程得m218，解得m0或8，经检验都符合.答案(1)D(2)0或8规律方法处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.【训练3】 设抛物线过定点A(1，0)，且以直线x1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围.解(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x1，y).再根据抛物线的定义得|AF|2，即(2x)2y24，所以轨迹C的方程为x21.(2)设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知两式相减，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，将xMxN21，yMyN2y0，代入
