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1、第四章 随机变量的6大数字特征2009考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质2009考试要求1 理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。2会求随机变量函数的数学期望。一、数学期望 或考研数学内容需要掌握4种平均概念：算数平均；几何平均；区间平均；加权平均，即概率平均，也就是数学期望。1 一维随机变量及函数的数学期望 1.1 离散型1.2 连续型的概率密度为2 二维随机变量函数的数学期望 或3 数学期望的性质 3.1 ； 3.2 3.3
2、独立3.4 二、方 差 标准方差 1 离散型 2 连续型 3 性 质 3.1 3.2 3.3 3.4 独立 3.5 独立 3.6 , 为任意常数。三、8+2大分布的数学期望与方差3.1 0-1分布 3.2 二项分布 , 为个分布之和 3.3 泊松分布 当 3.4 均匀分布 3.5 正态分布 dt = 3.6 指数分布 3.7 几何分布 3.8 超几何分布 3.9 分布评 注 这个公式的证明如下： 3.10 分布四、二维随机变量的数字特征4.1 期 望 边缘分布离散型： 边缘分布连续型： 联合分布函数型：4.2 方 差 边缘分布离散型： 边缘分布连续型： 联合分布函数型： 两个二维连续分布的数学
3、期望和方差 随机变量的标准化方法 4.3 协方差与相关系数 矩 ，只反映了和各自的平均值，而，反映的是和各自偏离平均值的程度，而协方差则反映和之间的关系。 协方差 协方差的性质 1) X和Y独立或不相关，则； 2) 3) 4) 协方差的计算方法 1) 离散型 2) 连续型 3) 利用与和的关系是计算的主要方法 相关系数 描述的线性相关程度 相关系数本质上是一种线性逼近。考虑以的线性函数来近似表示，这种表示程度的好坏由下式的最小值决定证明如下 相关系数的性质反应了两个随机变量和的线性关系 1) 。2) 和独立，说明和什么关系都没有，当然也不会有线性关系，从而；和不相关，但只能说明和没有线性关系，
4、但和可能有非线性关系，和当然不一定独立。也就是说，独立必不相关，不相关不一定独立。只有对正态分布和二值分布而言，独立和不相关才是完全等价。3）的充要条件是使 ，表示和是完全的线性关系。 不相关的等价命题（均为充要条件） 1) 2) 3) 4) 矩和协方差矩阵 1) 阶矩原点矩 2) 阶中心矩 3) 阶混合矩 显然，为X的一阶原点矩，是X的二阶中心矩，是X，Y的1+1阶混合中心矩，也就是说随机变量的全部数字特征最终都可以由矩来统一。 4) 协方差矩阵 设n维随机变量阶混合中心矩 则协方差矩阵定义如下： 由于是一个对称矩阵，它给出了n 维随机变量的全部方差和协方差。如对二维随即变量，有四个二阶中心
5、矩，下面的是重要考点。5) n维正态随机变量的性质 n 维随机变量服从n 维正态分布的充要条件是，即他们的线性组合服从一维正态分布。 若服从n维正态分布，的线性函数，则 服从维正态分布。 服从n维正态的分布，则相互独立的充要条件是 两两不相关，这是正态分布的特别之处。五、先进题型和求解秘诀【例1】设排球队和比赛，若有一队胜三场，则比赛结束，假定获胜的概率为，求比赛场数的数学期望。 解：的可能取值为3，4，5，=3，表示或全胜 =4，表示在第四场取胜或在第四场取胜 =5，表示在第五场取胜或在第五场取胜 同步训练 设球队与进行比赛，若有一队胜4场则比赛结束，已知，两队在每场比赛中获胜概率都是，求需
6、要比赛的场数的。解：设比赛的场数为，则的可能取值=4，5，6，7，相应的概率为 第一场比赛中某队胜一场 该队还需连胜三场，比赛结束。 最后的表示胜出一队输一场，以此类推。【例2】一辆汽车沿街道行使，需要通过三个相互独立的红绿信号灯路口，已知红绿信号显示时间相等，以表示该汽车首次遇到红灯已通过的路口个数，求。解：的可能取值为0，1，2，3。记，则。 【例3】已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲中正品和次品各3件，乙只有3件正品，现从甲箱任取3件产品放入乙箱后，求 乙箱中的次品数的； 从乙箱中任取一件是次品的概率。解： 记 应用全概率公式，记事件=从乙箱中任取一件是次品 【例4】设两个相互独立的事件
7、都 不发生的概率为，事件发生不发生的概率与事件不发生发生的概率相等，令，求。解：事件发生不发生的概率与事件不发生发生的概率相等，即 【例5】设相互独立，其中， ，求。解：。【例6】，则与不相关的充要条件是什么？解： 【例7】，求。解：有四种可能值： 【例8】 设随机变量X的概率密度函数 a为常数求 ，并判断与的独立性。解： 令 则 为奇函数 （归一性） 设 ，事件，则 于是由 故 与x不是相互独立。【例9】，求 。 解： 【例10】 设随机变量X服从参数为2的指数分布，试求：（1） 与 （2） 与 解： （1） （2） 【例11】 设，试求 （1） （2）解： （1） （2） 【例12】设随机
8、变量，求。解： 【例13】将一枚硬币重复掷次，以分别表示正面向上和反面向上，求。解： 【例14】独立同分布，则必然 解：，故成立。 当为正态分布时，则也为正态，由不相关得出独立，但为非正态分布时，就未必，如取 ，则有故，都不一定成立。【例15】和在上服从联合均匀分布，求。解： 评 注 上例中，由于，所以不相关；又由于，故并不独立。本题形象地表明：虽然没有线性关系，但存在二次关系（非线性关系），因此不独立。也说明了独立的本质是：既没有线性关系，也没有非线性关系。【例16】 设随机变量X分布列 012求 。解：由随机变量X的分布得0122101014故 【例17】 设的分布律为 0101010求
9、。解：易知X的分布律 Y的分布律 故： （仅当时不为0） 【例18】 设的概率密度为， 求。解：； 【例19】点在以为顶点的三角形内服从均匀分布，求。 解： 评 注 尽管为常数，相当于可分离变量，但由于正概率区间非矩形，故一定 是部分相关的，本质上相当于两个随机变量存在取值纠缠。【例20】，。求 ；。解： 【例21】 设服从二维正态分布概率密度 求 及协方差矩阵形式。解：易知的边缘概率密度为 且 = 令 则 在二维正态分布的概率密度函数中 令 由于 故 上式很容易推广到n维情况。令 则【例22】设二维随机变量的密度函数为，为二维正态密度函数，它们对应的二维随机变量的相关系数分别为和，它们的 边
10、缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。求 ； 证明是否独立。解：故不相关。 又故不独立。评 注 本题中，两个分量都是正态分布的联合分布不是二元正态分布，不相关但是也不独立。【例23】设是两个相互独立且都服从正态分布，求。解：令， 【例24】 一个系统由两个系统并联而成，若只有一个系统发生故障，则系统还能工作，设两个系统的工作寿命分别为X与Y，且相互独立，并服从相同的指数分布： 求系统工作寿命下的。解： 联合密度函数为： 由 得 评 注 重要关系 【例25】设和相互独立，且都服从，求。解：方法一：定义积分法 方法二：利用重要关系，先标准化和的分布 令 【例26】独立同分布，。求。 解：有三个可能值 。 12102 【例27】设为随机事件，。求和的概率分布。解： 0101【例28】独立同分布，服从，。求 ；。解： 【例29】在长为 的线段上任取两点，试求两点间距离的数学期望与方差。解： 将线段置于x轴的区间上，设X，Y表示线路上任取两点的坐标，随机变量表示这两点的距离，则由X、Y相互独立，且均服从上的均匀分布，得的联合密度函数为
