立体几何常见证明方法

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1、立体几何常见证明方法第一篇：立体几何常见证明方法立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A,过a的平 面B与平面A相交于b，则a/b。3、根据线面垂直的性质定理，若直线 a 与直线 b 都与平面 A 垂 直，则a/bo4、根据面面平行的性质定理，若平面A/平面B，平面C与平面 A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a/bo uuupuuup5、由向量共线定理，若AB=xCD，且AB、CD不共线，则向量 AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行，即ab。二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，

2、证直线与平面没有公共点。2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面 外的直线a平行，则a/Ao （用相似三角形或平行四边形）3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面 内的任一直线与另一个平面平行。4、向量法，向量c与平面A法向量垂直，且向量c所在直线c不 在平面内，则c/Ao三、面面平行的证明方法 1根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一 平面平行，则两平面平行。或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与 另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。3、垂直同一直线的两平面平行。4、平行

3、同一平面的两平面平行。5、向量法，证明两平面的法向量共线。四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为902、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线 垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线 .4、根据三垂线定理及 逆定理 ,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线 （或斜线在平面内的射 影）,则它垂直于斜线在平面内的射影（或平面的斜线）.5、向量法.五、线 面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一（所有）直线垂直,则直线垂 直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线 垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个 ,也垂直于

4、另一个 .4 两平行直线中的一条垂直于一个平面 ,另一条也垂直于这个平面 .5、根 据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面.6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的 向量共线.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角， 则两平面垂直。2、根据面面垂直的判定定理，一平面经过另一平面的一条垂线， 则两平面垂直。3、一平面垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个。4、向量法，证明两平面的法向量垂直（即法向量的数量积为零） 七、两异面直线所成角的求法1、根据定义，平移其中一条和另一条相交，然后在三角形中求角2、利用

5、中位线，将两异面直线平移至一特殊点（中位线的交点） 然后在三角形中求角。3、cos0=cos0lcos024、向量法.八、直线与平面所成角的求法1、根据定义，作出直线与平面所成角，然后在直角三角形中求角2、转化为距离（sin。二h/l）3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜线与法向量的夹角。（注意为正弦）注：对两异面直线所成角和直线与平面所成角一定要注意角的范 围。九、二面角的求法1、定义法，从二面角的棱上的某一点分别在两个半平面内作棱的 垂线，求两条垂线所形成的角。2、根据三垂线定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中 求角。3、射影面积法，先作出一个半平面内的某个多边形，在另一个

6、半 平面内的射影多边形，然后由公式cose=s/s（其中0为二面角的平 面角，S为射影多边形的面积，s为多边形的面积）求出二面角的平面 角。4、向量法，求出两个半平面的法向量，然后求两法向量的夹角。 （一般要先根据已知判断二面角是锐角还是钝角 ,否则要判断指向，同 内同外为补角）5. 公式法（异面直线上点距离公式和三类角公式） 十、点到平面的距离的求法1、根据定义，直接求垂线段的长度。2、向量法，利用公式uuupup|PA.n|d = |n| （其中PA为平面的一条 斜线，向量n为平面的一个法向量。3、等体积法，主要用在四面体（三棱锥）中，根据四面体的体积 等于1/3底面积X高，选取不同的底面

7、积，求出其中一条高长。十一、平面图形翻折问题的处理方法1、先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中 不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问 题归结为一个条件与结论都已知的立体几何问题。2、有关翻折问题的计算，必须抓住在翻折过程中点、线、面之间 的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些没变，尤其要抓住不变 量。对计算几何体上两点之间的最短距离问题，要注意转变为平面图形求两点间的距离来计算。 十二、要注意的问题1、对推理论证与计算相结合的题目的解题原则是一作、二证、三 计算。（向量法可省略证角，但必须交代如何建系，右手系）。2、正方体中，两个平行的正三角形截面把

8、一条与它们垂直的体对 角线三等分。yj o3、已知三条射线两两夹角，会求线面角和二面角 （课堂笔记，只 需会推导方法，不需强记公式）4、适当时候，坐标法不方便时可以考虑基向量法，求向量 模易出错：ra 二。5、求异面直线间的距离，若公垂线找不到，除向量法外，可以考虑构造平行平面或平行线面，转化为点面距离求。第二篇：立体几何常见证明方法立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A,过a的平 面B与平面A相交于b，则a/b。3、根据线面垂直的性质定理，若直线 a 与直线 b 都与平面 A 垂 直，则a/bo

9、4、根据面面平行的性质定理，若平面A/平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a/bo5、由向量共线定理，若AB=xCD，且AB、CD不共线，则向量 AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行，即ab。二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面 外的直线a平行，则a/Ao （用相似三角形或平行四边形）3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面 内的任一直线与另一个平面平行。4、向量法，向量c与平面A法向量垂直，且向量c所在直线c不 在平面内，则 c/A。三、面面平行的证明方

10、法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一 平面平行，则两平面平行。或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与 另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。3、垂直同一直线的两平面平行。4、平行同一平面的两平面平行。5、向量法，证明两平面的法向量共线。四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为 902、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线 垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及 逆定理 ,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线 （或斜线在平面内的射 影）,则它

11、垂直于斜线在平面内的射影（或平面的斜线）.5、向量法.五、线 面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一（所有）直线垂直,则直线垂 直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线 垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个 ,也垂直于另一个 .4 两平行直线中的一条垂直于一个平面 ,另一条也垂直于这个平面 .5、根 据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面.6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的 向量共线.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角， 则两平面垂直。2、根据

12、面面垂直的判定定理，一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直。3、一平面垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个。4、向量法，证明两平面的法向量垂直（即法向量的数量积为零） 七、两异面直线所成角的求法1、根据定义，平移其中一条和另一条相交，然后在三角形中求角2、利用中位线，将两异面直线平移至一特殊点（中位线的交点） 然后在三角形中求角。3、cos0=cos0lcos024、向量法.八、直线与平面所成角的求法1、根据定义，作出直线与平面所成角，然后在直角三角形中求角2、转化为距离（sin。二h/l）3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜线与法向量的夹 角。（注意为正弦）注：对两异面直线所

13、成角和直线与平面所成角一 定要注意角的范围。九、二面角的求法1、定义法，从二面角的棱上的某一点分别在两个半平面内作棱的 垂线，求两条垂线所形成的角。2、根据三垂线定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中 求角。3、射影面积法，先作出一个半平面内的某个多边形，在另一个半 平面内的射影多边形，然后由公式cos0=s/s（其中0为二面角的平 面角，s为射影多边形的面积，s为多边形的面积）求出二面角的平面 角。4、向量法，求出两个半平面的法向量，然后求两法向量的夹角。 （一般要先根据已知判断二面角是锐角还是钝角 ,否则要判断指向，同 内同外为补角）5、公式法（异面直线上点距离公式和三类角公式） 十

14、、点到平面的距离的求法1、根据定义，直接求垂线段的长度。2、向量法，利用公式uuupup|PA.n|d二up|n| （其中PA为平面的一条斜线，向量n为平 面的一个法向量。3、等体积法，主要用在四面体（三棱锥）中，根据四面体的体积等于1/3底面积x高，选取不同的底面积，求出其中一条高长。十一、平面图形翻折问题的处理方法1、先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中 不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问 题归结为一个条件与结论都已知的立体几何问题。2、有关翻折问题的计算，必须抓住在翻折过程中点、线、面之间 的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些没变，尤其要抓

15、住不变 量。对计算几何体上两点之间的最短距离问题，要注意转变为平面图 形求两点间的距离来计算。十二、要注意的问题1、对推理论证与计算相结合的题目的解题原则是一作、二证、三 计算。（向量法可省略证角，但必须交代如何建系，右手系）。2、正方体中，两个平行的正三角形截面把一条与它们垂直的体对 角线三等分。3、已知三条射线两两夹角，会求线面角和二面角 （课堂笔记，只 需会推导方法，不需强记公式）4、适当时候，坐标法不方便时可以考虑基向量法，求向量模易出 错：ra r2a。5、求异面直线间的距离，若公垂线找不到，除向量法外，可以考 虑构造平行平面或平行线面，转化为点面距离求。第三篇：立体几何证明方法立体几何证明方法一、线线平行的证明方法：1、利用平行四边形。2、利用三角形或梯形的中位线3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线 面垂直的性质