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1、常用幂级数求和函数措施综述引言级数是高等数学体系的重要构成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐渐形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐渐逼近圆,从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想措施，即无限多种数的累加问题。而将一种函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦,她一方面发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同步，她也开始讨论判断无穷级数的敛散性措施。到了1世纪,高斯、欧拉、柯西等各自给出了多种鉴别级数审敛法则,使级数理论全面发展起来。中国老式数学在幂级数理
2、论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用品有老式数学特色的措施对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了进一步的研究。而今,级数的理论已经发展的相称丰富和完整,在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表达函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学自身方面均有广泛的作用。幂级数是一类最简朴的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性,求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但诸多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一种重要因素是教材对这一问题讨论较少,仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级
3、数和函数的措施与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解,因此它是一种难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。一、幂级数的基本概念(一）、幂级数的定义 11、设是定义在数集上的一种函数列，则称 为定义在上的函数项级数,简记为。2、具有下列形式的函数项级数称为在点处的幂级数。特别地,在中，令，即上述形式化为称为在0点的幂级数。(二)、幂级数的和函数 2若对幂级数中的每一种均有，则称为幂级数的和函数。 幂级数的部分和记为且部分和有如下性质 二、幂级数求和函数的几种措施如下所要简介的几种措施旨在分析不同类型的幂级数该如何进行求和，并且协助人们掌握解题技巧。(一)、定义法 3对于幂级数,若
4、前项和函数列有极限，即 存在,则此幂级数收敛，且。例1:求幂级数的和函数，其中,。解:当时（二)、分项组合法我们通过观测可以发既有些幂级数具有某些明显的特性,例如可以将已知级数的通项拆项组合,再计算所拆得各项的和函数,从而求得该级数的和函数。例2：求的和函数。解:易知该级数的收敛域为当时，当时 因此 (三）、逐项求导与逐项积分法 若幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式，可考虑用“先积分,再求导”的做法;若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数，可考虑用“先求导,再积分”的做法。定理 4:设幂级数在内的和函数为,则1、 在内每一点都是可导的,且有逐项求导公式:求导后的
5、幂级数与原幂级数有相似的收敛半径。2、 在内可以积分,且有逐项积分公式:其中是内任意一点，积分后的幂级数与原幂级数有相似的收敛半径。在函数项级数一致收敛的前提下,对其进行逐项微分或积分。通过逐项求导或逐项积分将给定的幂级数化为已知和函数的级数形式,从而得到新级数的和函数;将得到的和函数做与之前相反的分析运算，便得到所求幂级数的和函数。例3：求幂级数的和函数。解：易知该级数的收敛域为，在任意区间上可以逐项积分令 因此 从而可得所求和函数 例4:求幂级数的和函数。解：易知收敛区间为当时，当时设 得出 综上所述 (四)、代数方程法此种措施目的在于建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之,从而得到
6、原幂级数的和函数。例5:设有等差数列: 等比数列： 则各项为等差数列、等比数列相应项的乘积所构成的级数为求其和函数,其中为常数。解：易知此级数的收敛域为因此 例:求幂级数 的和函数，其中 为 的 次多项式。解:记 则 其中为的次多项式 再使用一次以上的运算措施可得 -得 其中 为的次多项式 反复使用以上的措施可以得到这样就可以求得。(五）、微分方程法在幂级数中，有一类具有阶乘运算的幂级数，这种幂级数的和函数的求法,在现行高等数学教材中波及的不多，因此成为诸多同窗学习的一种盲点。此措施将通过实例简介此类幂级数和函数的求法,把幂级数求和问题划归为求解微分方程的问题，也就是把幂级数的和函数微分后,再
7、与本来幂级数作某种运算,得到一种具有幂级数和函数以及和函数导数的关系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函数。例7:求幂级数 在下列状况下的和函数: ，即公差为的等差数列,其中为常数; ,即公比为的等比数列,其中为常数。解:易知该级数的收敛域为则 这是一种满足初始条件的一阶常系数的线性微分方程,解此微分方程得 易知该级数的收敛域为 这是一种满足初始条件的一阶常系数的线性微分方程,解此微分方程得 （六)、柯西措施5如果级数与 都绝对收敛，作这两个级数的乘积,其中,则也绝对收敛,且必有。例8：求幂级数的和函数解：令则 为绝对收敛级数再令为 的泰勒级数:此级数在内是绝对收敛的。从而 因此（七)、
8、差分算子求和法此措施合用于通项系数是觉得自变量的有限次多项式的幂级数求和问题。若为任意实函数，为差分算子,则定义函数的一阶差分为 阶差分为 定理6 ：设为次多项式，则当时收敛,并且其和函数 定理证明:当时,幂级数收敛,目前定义单位算子及位移算子分别为 则 即由于 因此 例:求幂级数 的和函数解:令 则 故 因此由定理得 则 三、幂级数求和函数多种措施特点分析与评价以上简介了七种求幂级数和函数的措施，这也只是若干种求幂级数和函数措施中一部分,其她更多的措施尚有待摸索发现，在此不再进一步探究。下面就以上七种措施再做一点讨论:（一）定义法的特点：此措施是根据求幂级数部分和函数列的极限得出的,因此它自
9、然合用于一切形式的幂级数求和。但是问题在于，对于某些通项比较复杂的幂级数,幂级数部分和数列的极限很难求出，则此措施就会失效。例如幂级数 的部分和数列与否收敛就难以判断,如果要用定义法进行求和，那么就会相称困难而得不出成果。(二)分项组合法特点：要运用这一措施我们一方面要对所求幂级数的各项进行细心的观测。当逐项观测时发现不了什么规律,这时可以隔一项甚至两项、三项再次观测,也可以把通项稍作变形再观测。如果发现了一题中存在不止一种规律，那么就把符合同一种规律的各项组合在一起进行分别计算,最后再联列得出所求级数的和函数。这种措施在对通项进行拆项上技巧性很强,一般可以运用已知和函数的幂级数来进行。(三）
10、逐项求导与逐项积分法,这一措施使用起来比较简朴。遇到一种级数，第一步将其通项单独拿出来分析。如果开始比较复杂无从下手,可以试着进行逐次求导、逐次积分、先求导再积分、先积分再求导,通过几次运算后来可以变成比较简朴、容易求和的级数的话，那么先求出新级数的和,接着再做与之前所做的相反的运算就可以得出本来的级数的和函数。这种措施运用时要熟记常用函数的麦克劳林展开式,此时的展开式就是常用幂级数的和函数公式,这种求幂级数和函数的措施还可以用来求某些简朴的数项级数的和。（四）代数方程法，看到所求幂级数时，要仔细观测相邻两项之间与否存在有明显的关系,例如：前后两项之间只相差一种倍数，前一项乘以自变量、自变量的
11、倍数或自变量的幂得到后一项。一旦发现这些规律时我们就可以坚决的运用代数方程法求此幂级数的和函数,这样可以节省大量计算时间、带来很大的以便、提高效率。同样对于微分方程法,所求幂级数的一般项中一般具有阶乘因子,使用之前先对本来的和函数做一定的变形，求其一阶导数、必要时还规定其二阶导数、三阶导数,将所得成果与本来和函数联列。如果容易得到一种微分方程，那么就可以转化为求解此微分方程的初值问题解:容易求出初值解，则此解为规定的幂级数的和函数;若不易求初值解，此法就不再合用。(五)柯西措施、差分算子求和法，这两种措施的合用条件比较明显。只要所求级数的通项可以表达为此外两个级数前 n 项相应乘积之和，且这两
12、个级数的和函数容易求得,那么就可以使用柯西措施将已求得的两个和函数相乘而得到所求幂级数的和函数。如果遇到通项系数是以 为自变量的有限次多项式的幂级数,那么就可以尝试使用差分算子求和法对其进行求解。上面是对七种求和函数的措施分别简介的，但不是说对于任何一题只要使用其中的一种措施就可以得出成果，有时候会遇到稍微复杂的题目,这时也许使用以上任何一种措施都不能得出成果,而是要综合使用其中的两种、三种甚至四种措施才可以顺利解答。例1:求幂级数和函数 其中 解:令 其中 因此 以上三式相加得 这是一种满足初始条件的二阶常系数的线性微分方程，解此微分方程得从而 例11:求 的和函数。解:易知该幂级数的收敛域为 令 则 令 因此
