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1、 20xx年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 复数等于（ ）A B C D考点：复数的运算。难度：易。分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。解答：。2. 已知集合，下列结论成立的是（ ）A B C D考点：集合交并补的定义。难度：易。分析：本题考查的知识点为集合交集、并集的定义，直接根据定义选择即可。解答：，。3. 已知向量，则的充要条件是（ ）A B C D考点：平面向量的垂直。难度：易。分析：本题考查的知识点为平面向
2、量的垂直，若非零向量，则。解答：非零向量。4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 考点：空间几何体的三视图。难度：易。分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。5. 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）A B C D考点：双曲线的离心率。难度：易。分
3、析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率即可。解答：双曲线中，。6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出值等于（ ）A B C0 D 考点：算法初步。难度：易。分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可。解答： ；结束。7. 直线与圆相交于两点，则弦的长度等于（ ）A B C D1考点：直线和圆。难度：中。分析：本题考查的知识点为直线被圆所截的弦长，利用几何意义，。解答： 图形如图所示，圆心为，半径为2，圆心到直线的距离，所以。8. 函数的图像的一条对称轴是（ ）A B C D考点：三角函数的对称性。难度：中。分析：本题考查的知识点为三角函数的性质
4、，熟记三角函数的对称轴的公式即可。解答：令，则,当时，。9. 设，则值为（ ）A1 B0 C D考点：分段函数。难度：中。分析：本题考查的知识点为分段函数的理解，直接应用即可。解答：令。10. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）A B1 C D2考点：线性规划。难度：中。分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。解答：可行域如下：所以，若直线上存在点满足约束条件，则，即。11. 数列的通项公式，其前项和为，则等于（ ）A1006 B20xx C503 D0考点：数列和三角函数的周期性。难度：中。分析：本题考查的知识点为三角函数的周
5、期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。解答： ， ， ，所以。即。12. 已知，且，现给出如下结论：；。其中正确结论的序号是（ ）A B C D考点：导数。难度：难。分析：本题考查的知识点为导数的计算，零点问题，要先分析出函数的性质，结合图形来做。解答：， 导数和函数图像如下：由图，且，所以。第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。13. 在中，已知，则_。【】考点：正弦定理。难度：易。分析：本题考查的知识点为三角形中正弦定理的应用。解答：在中，所以解得。14. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男
6、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_。【12】考点：分成抽样。难度：易。分析：本题考查的知识点为统计中的分层抽样，直接按成比例计算即可。解答：分层抽样， ，所以。15. 已知关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是_。【】考点：一元二次不等式。难度：易。分析：本题考查的知识点为一元二次函数的图像，开口朝上，无根即可。解答：令，所以。16. 某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例
7、如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10。现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为_。【16】考点：演绎推理。难度：中。分析：本题考查的知识点为演绎推理，理解题意，直接计算最小值即可。解答：题目要求联通所有的城市，且费用最小，则首先连接费用最小的城市， 连接方法如下：（1） 连接，此时联通两个城市，费用为；（2） 再连接，此时联通三个城市，费用为；（3） 再连接，此时联通四个城市，费用为；（4） 再连接，此时联通五个城市，费用为；（5） 再连接，此时联通六个城市，费用为；（6） 再连接，此时联通七个城
8、市，费用为。所以铺设道路的最小总费用为16。三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. （本小题满分12分） 在等差数列和等比数列中，的前10项和。（）求和；（）现分别从和的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。考点：等差数列，等比数列，古典概型。难度：易。分析：本题考查的知识点为演绎推理，等差等比数列的定义和通项公式，前项和公式和古典概型，直接应用。解答：（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为 则 得：（），各随机抽取一项写出相应的基本事件有 共个 符合题意有共个 这两项的值相等的概率为18. （本小题满分12分）某工
9、厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（I）求回归直线方程，其中（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入成本）考点：线性回归，二次函数。难度：易。分析：本题考查的知识点为线性回归中回归直线的求解及二次函数的最值。解答：（I） （II）工厂获得利润 当时，（元） 19. （本小题满分12分）如图，在长方体中，为棱上的一点。（I）求三棱锥的体积；（II）当取得最小值时，求证：平面。考点：立体几何。难度：中。分析：本题考查的知识点为棱锥的体积
10、，和垂直的判定。解答：（I）点到面的距离为 得：三棱锥的体积（II）将矩形饶按逆时针旋转展开，与矩形共面 ，当且仅当点是棱的中点时，取得最小值 在中， 得： 同理：面20. （本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 （I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。考点：三角恒等变换。难度：中。分析：本题考查的知识点恒等变换公式的转换及其应用。解答：（I）选择（2）：（II）三角恒等式为： 21. （本小题满分12分）如图，等边三角形的边
11、长为，且其三个顶点均在抛物线上。（I）求抛物线的方程；（II）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点。证明：以为直径的圆恒过轴上某定点。考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。难度：难。分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。解答：（I）设；则 得：点关于轴对称 代入抛物线的方程得：抛物线的方程为 （II）设；则 过点的切线方程为即 令 设满足：及 得：对均成立 以为直径的圆恒过轴上定点22. （本小题满分14分）已知函数且在上的最大值为。（I）求函数的解析式；（II）判断函数在内的零点个数，并加以证明。考点：导数，函数与方程。难度：难。分析：本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。解答：（I）在上恒成立，且能取到等号 在上恒成立，且能取到等号 在上单调递增 （II） 当时，在上单调递增 在上有唯一零点 当时，当上单调递减 存在唯一使 得：在上单调递增，上单调递减 得：时，时，在上有唯一零点 由得：函数在内有两个零点。
