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1、选修2-2第1章第1-2节 导数 的概念及运算（理）（学案含答 案）年级高学科数学版本苏教版（理）课程 标题选修2-2第1章第1-2节 导数的概念 及运算、学习目标:1. 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握 函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义； 理解导数的概念。2. 熟记常函数C，幂函数xn（n为有理数）， 三角函数sinx，cosx，指数函数ex，ax，对数函 数lnx，logax的导数公式；掌握两个函数四则运 算的求导法则；3. 掌握复合函数的求导法则，会求某些简单 函数的导数。二、重点、难点重点：导数的概念、常见函数的导数、函数 的和、差
2、、积、商的导数、复合函数的导数。难点：导数的概念、复合函数的导数。三、考点分析：1. 导数既是研究函数性态的有力工具，又是 进行理性思维训练的良好素材。导数的概念与几 何意义，及导数的运算是每年高考的重点考查内 容之一。2. 考纲要求：理解导数概念及其几何意义， 能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单 函数的导数，能求简单的复合函数的导数。1. 导数的概念：设函数y心)在x xo处附近有定 义，当自变量在x xo处有增量x时，函数y f(x)相 应地有增量y f(xo x) f(xo)，如果当x 0时，上趋x 于常数A，称函数y f(x)在点xo处可导，并把A叫 做f(x)在xo处的导数，记
3、作f (xo)或y-2. 导数的几何意义函数y f(x)在点xo处的导数的几何意义是曲 线y f(x)在点P(xo, f (xo)处的切线的斜率，也就是说， 曲线y f(x)在点P(Xo，f(Xo)处的切线的斜率是f(xo)。相 应地，切线方程为y yo f (xo)(x Xo) o3. 导数的运算：(1) 基本函数的导数公式：(C) o ； (xm) mxm1 ；(sin x) cosx ；(2) 导数的运算法则：设u u(x)、v v(x)均可导，则(Cu) Cu ( C 为常数)；u (v o)7 vv(3) 复合函数的导数：设y f(u)、u (x)均可 导，则复合函数y f (x)可
4、导，且yx yu ux f (u) (x). 知识点一：导数的概念例1已知函数f(x)在x=xo附近有意义且可 导，导函数为5，若f(xo)=2，则心豊3趋于3K()A. 2 B. I C. 2 D.333思路分析：本题是导数概念题，注意自变量 的增量为2K o解题过程：原式=2k 0时2f(x02k)f(x0)4 ,32k3 ?故选D解题后反思：对导数概念问题，注意要准确地从函数增量的式子中找出自变量的增量， 紧扣 函数在某一点的导数的概念：函数增量与自变量 增量的比的极限值就是这一点的导数解题， 本题 中自变量的增量为2k。知识点二：导数的几何意义例2曲线汙二在点（1，1）处的切线方2x
5、1程为（）A. x y 2 0B. x y 2 =0C. x 4y 5 =0D. x 4y 5=0思路分析：先求函数在这一点的导数即切线斜率，再由点斜式写出直线方程解题过程:2x 1 2x2(2x 1)1(2x 1)2，曲线在点（1, 1）处的切线斜率k=y|X1= 1 ,曲线在点（1,1）处的切线方程为y 1 （x 1）, 即x y 2 0，故选B。解题后反思：对曲线的切线问题，注意利用 导数的几何意义解题，注意过某一点的切线与在 某一点的切线的区别。例3求函数y= x2 4过点P （1, 1）的切线 方程。思路分析：先设出切点坐标，求出切线方程, 再利用切点既在曲线上又在切线上， 列出切点
6、坐 标的方程，求出切点坐标，从而求出切线方程。解题过程：设切点Q ( Xo, yo),求导得y = 2X , 由导数的几何意义得曲线在点 Q( xo, y。)处的切 线斜率 k = y |x xo = 2xo ,曲线在点(1, - 1)处的切线方程为：y 1 = 2xo(x 1),又点Q ( Xo, yo)既在切线上，又在函数图像 上，313 或 X0 5，y 5=0。 yo 1 2xo(xo 1) 解得Xoyo x：4， y切线方程为2x y 3 = o或6x 解题后反思：注意过某点的切线与在某点的 切线的区别，要掌握过某点的曲线的切线方程求 法。知识点三：导数的实际意义成正比，比例系数为c
7、 比例系数为2c 成反比，比例系数为c 比例系数为2c例4 设球的半径为时间t的函数Rt，若球 的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长 速度与球的半径B.A.成正比，C.成反比，观察其思路分析：求出球的表面积的导数，与球的半径的关系。解题过程：由题意可知球的体积为 V(t) = 4 R3(t)，贝y c = V(t) = 4 R2(t)R(t)，由此可得 3為齐=4R(t),而球的表面积为 S(t)=4R2(t),R(t)R (t)V 表= s(t)=4R2(t) 8 R(t)R(t) = 2 4 R(t)R(t)=2cR(t)R(t)R(t)=2c,故选D;解题后反思：注意利用题中条件，
8、球的体积 以均匀速度c增长即球的体积函数的导数为常 数。知识点四：导数的运算例5求下列函数的导数：思路分析：解答本题的突破口是要分析函数 解析式的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问 题转化为基本函数的导数。2 2解题过程：(1)y (1 x)(1 x)cosx22(1 理 x)cosx(1 x ) cos x(3)令 y：y(2) y x2 3x 2 x 3 x3 6x2 11x 6。3au , u sin v, v lne2x In(e2x 1),解题后反思：(1)本题分别考查了导数的四 则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函 数求导的思想方法和代数式等价化简的运算能(2)对于函数求导，
9、一般要遵循先化简， 再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法 则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制 约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等 价性，避免不必要的运算失误对复合函数求导，必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的， 分 清其间的复合关系，再按照复合函数求导法则进 行求导。(3)对复杂函数进行求导时，函数的解析 式能化简的要尽量化简，应尽量少用甚至不用乘 积的求导法则，应在求导前，先用代数、三角恒 等变形对函数解析式进行化简，然后再用函数的 四则运算法则的求导公式求导数。例6( 1)若曲线f(x) ax3 lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
10、。(2)已知函数f(x)在R上满足 f(x) = 2f(2 x) x2 8x 8，则曲线 y f(x)在点(1,f(1)处的切 线方程是。思路分析：(1)本题是函数存在斜率为0的切 线问题，先求导，转化为导数为0恒有解的问题， 通过参变分离求出参数范围。(2)先求f(1)，因f(2 x)是复合函数，故根据 复合函数的导数法则等式两边求导，再将x = 1代入，即可求出f(1)，代入点斜式即可求得切线方 程。解题过程：(1)由题知函数f(x)的定义域为 x 0，求导得 f(x) 3ax2 1，x又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax2丄=0恒有解，即a= 土( x 0)恒有x73x解，二 aV 0
11、，实数a的取值范围是(，0)。(2)令 x=1 得， f =2f(2 1) 12 8 1 8，即 f(1)=2f 1，解得 f(1)=1 ,对 f (x) = 2f(2 x) x2 8x 8两边同求导得， f (x)= 2f (2 x) 2x 8 ,f (1)= 2f (2 1) 2 1 8，即将x = 1代入上式得， f (1)= 2f (1) 6，解得 f (1)=2,y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y 1=2(x 1)，即 2x y 1 0 o解题后反思：对含参数函数的导数问题，应注 意函数的定义域。(全国高考)曲线y e2x 1在点(0,2)处的切 线与直线y 0和y x围
12、成的三角形的面积为 ( )1 1A. 3B. 2C. 3D. 1思路分析：利用导数求出点(0, 2)处的切 线方程，然后分别求出与直线y = 0与y = x的交 点问题即可解决。2x |x 0y2x 2o121S_ 1 _-o233x,y处的切线解答过程：y 2e2x,y |X0 2切线方程是： 在直角坐标系中作出示意图，即得y f Xof Xox Xo。解题后反思：函数y f x在点 方程是1.理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件。具体解题时， 还应结合函数本身的特点，才能准确有效地进行 求导运算，调动思维的积极性，在解决新问题时， 触类旁通，得心应手。2 熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及 和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法 则。3.对于一个复合函数，一定要理清其中的复 合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。下节课我们将学习导数的应用，那么导数的 应用是指它在哪些方面的应用呢？请同学们阅 读课本，并且进行思考。
