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1、 Born to win2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若时， 与是等价无穷小，则= .(2) 设函数由方程所确定，则曲线在点(1,1)处的切线方程是 .(3) 的麦克劳林公式中项的系数是 .(4) 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .(5) 设为3维列向量，是的转置. 若，则= .(6) 设三阶方阵满足，其中为三阶单位矩阵，若，则 .二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字
2、母填在题后的括号内.(1) 设均为非负数列，且,则必有( )(A) 对任意成立. (B) 对任意成立.(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. (2) 设, 则极限等于( )(A) . (B) .(C) . (D) . (3) 已知是微分方程的解，则的表达式为( )(A) (B) (C) (D) (4 ) 设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.(5) 设, 则( ) (A) (B) (C) (D) (6)设向量组I：可由向量组II：线性表示，
3、则( )(A) 当时，向量组II必线性相关. (B) 当时，向量组II必线性相关.(C) 当时，向量组I必线性相关. (D) 当时，向量组I必线性相关. 三 、(本题满分10分)设函数 问为何值时，在处连续；为何值时，是的可去间断点？四 、(本题满分9分)设函数由参数方程所确定，求五 、(本题满分9分)计算不定积分 六、(本题满分12分)设函数)在内具有二阶导数，且是的反函数.(1) 试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解.七 、(本题满分12分) 讨论曲线与的交点个数.八 、(本题满分12分) 设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴的交
4、点为，且线段被轴平分.(1) 求曲线 的方程；(2) 已知曲线在上的弧长为，试用表示曲线的弧长.-2 O 2 xyy x=(y)九 、(本题满分10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2. 根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).(1) 根据时刻液面的面积，写出与之间的关系式；(2) 求曲线的方程.(注：表示长度单位米，表示时间单位分.)十 、(本题满分10分)设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且 若极限存在，证明： (1) 在内;(2) 在内存在点，使；(3) 在内存在与(
5、2)中相异的点，使十 一、(本题满分10分)若矩阵相似于对角阵，试确定常数的值；并求可逆矩阵使十二 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为，.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】 当时，则，由题设已知，当时，与是等价无穷小，所以 ，从而 (2)【答案】【分析】为了求曲线在点(1,1)处的切线方程，首先需要求出函数在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可【详解】对所给方程两边对求导数，将其中的视为的函数，有将代入上式，得 故函数在点(1,1)处的导数为1，即点(1,1)处切线的斜率
6、为1，再利用点斜式得，过点处的切线方程为，即 (3)【答案】【详解】带佩亚诺余项的麦克劳林公式：求的麦克劳林公式中项的系数相当于先求在点处的阶导数值，就是麦克劳林公式中项的系数.； (归纳法及求导公式)于是有，故的麦克劳林公式中项的系数是(4)【答案】【详解】方法1：用定积分计算. 极坐标下平面图形的面积公式：，则=方法2：用二重积分计算. 表示该图形所占的区域，在极坐标下，利用二重积分面积公式：所以 =(5)【答案】3【分析】本题的可由矩阵的秩为1，把其分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行(或任一非零行)，列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成也可设求出，或利用或设，定出等【详解】
7、方法1：观察得A的三个行向量成比列，其比为1:1:1, 故=，知，于是方法2：， 而 比较(1)，(2)式，得方法3：设故 (的主对角元之和)(6)【答案】 【分析】 先化简分解出矩阵，再计算行列式或者将已知等式变形成含有因子的矩阵乘积形式，而其余因子的行列式都可以求出即可【详解】方法1：由，知，即，易知矩阵可逆，于是有 再两边取行列式，得 ，因为, 所以 方法2：由，得等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得约去，得 二、选择题(1)【答案】【详解】方法1：推理法由题设，假设存在并记为，则,这与矛盾，故假设不成立，不存在 所以选项正确方法2：排除法取，满足, 而，不正确；取，
8、满足,而，不正确；取，满足,而，不正确(2)【答案】【详解】= (第一类换元法)=可见 = (凑重要极限形式) (重要极限)所以选项正确(3)【答案】【详解】将代入微分方程，其中，得：，即 令，有，以代入，得=故选项正确 (4) 【答案】【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零)或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个(导函数与轴交点的个数)；是导数不存在的点 对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个
9、交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见为极大值点故共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)(5)【答案】【详解】令，有，所以当时单调递增，则，即，由定积分的不等式性质知，可见有 且(6)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：可由向量组II：线性表示，则当时，向量组I必线性相关 或其逆否命题：若向量组I：可由向量组II：线性表示，且向量组I线性无关，则必有 可见正确选项为(D) 本题也可通过举反例用排除法找到答案【详解】 用排除法： ，则，但线性无关，排除(A
10、)；，则可由线性表示，但线性无关，排除(B)；，可由线性表示，但线性无关，排除(C)三【详解】函数在处连续，则要求函数在处既是左连续又是右连续，即(由于，所以) （型极限，用洛必达法则） (极限的四则运算)= （） 所以，为的连续点，得；所以，为的可去间断点，即解得，此时在为可去间断点四【分析】(i)变上限积分求导公式：；(ii)参数方程的一阶导数:； (iii)若，二阶可导，函数的二阶导数公式：【详解】设,，则； 所以 所以 当时，由及得, 故五【详解】方法1：第二类换元法. 由于被积函数中含有根号，作积分变量变换，那么，则= 三角变换公式=又= 分部积分 分部积分 =，故由得，因此=方法2
11、：分部积分法= = 分部积分= 分部积分=， 移项整理得；=六【详解】 (1) 将题中的与变换成以为自变量为因变量的导数与来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有=，=代入原方程，得 ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程为，特征方程为，根，因此通解为 由于不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为则 ，代入方程( * )，得：解得，故. 从而的通解为由，得故变换后的微分方程满足初始条件的解为且的导函数，满足题设条件 七【详解】讨论曲线与的交点个数等价于讨论方程在区间内的零点问题，为此对函数求导，得可以看出是的驻点，而且当时，则，而，有，即单调减少；当时，则，而，有，即单调增加，
12、故为函数的惟一极小值即最小值. 当，即当时，无零点，两曲线没有交点； 当，即当时，有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点； 当，即当时，由于；由连续函数的介值定理，在区间(0,1)与内各至少有一个零点，又因在区间(0,1)与内分别是严格单调的，故分别各至多有一个零点. 总之，有两个零点 综上所述，当时，两曲线没有交点；当时，两曲线仅有一个交点；当时，两曲线有两个交点八【详解】(1) 曲线在点处的法线方程为令，则它与轴的交点为 由题意，此点与点所连的线段被轴平分，由中点公式得，即积分得(为任意常数)，代入初始条件得，故曲线的方程为，即(2) 曲线在上的弧长为另一方面，将(1)中所求得的曲线写成参数形式，在第一象限中考虑，于是 于是该曲线的弧长为：=所以 ，即 九【详解】(1) 设在时刻，液面的高度为，此时液面的面积为, 由题设：液面的面积将以的速率均匀扩大，可得，即所以, 由题意，当时，代入求得，于是得 从而 (2) 液面的高度为时，液体的体积为，由题设：以的速率向容器内注入液体，得所以 上式两边对求导，得，即 解此微分方程，得，其中为任意常数，由知, 故所求曲线方程为十【详解】(1) 因为极限存在，且，故又在上连续，从而，则由于，则在内严格单调增加，所以在处取最小值，即(2) 由要
