213函数的简单性质

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1、梅州市曾宪梓中学高一数学备课组 李学贤2.1.3 函数的简单性质单调性（第一课时）三维目标1知识与技能（1）理解函数单调性概念，学会运用函数图像理解和研究函数性质；（2）能熟练应用定义判断或证明在相应区间的单调性，并在此基础上应用单调性解决涉及函数的有关问题。2过程与方法 体验单调性概念的形成过程，并学会数形结合辩证思维的能力，和运用数学概念进行判断推理的能力，养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，领会数形结合分类讨论的数学思想。3情感、态度与价值观培养学生和同伴交流合作的能力以及在学习中不断反思形成勤于思考善于思考的能力。重点难点1教学重点：函数的单调性及其几何意义2教学难点：利用

2、函数的单调性定义判断、证明函数的单调性教学过程一、复习引入： 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象. 的图象如图1，的图象如图2. 引入：从函数的图象（图1）看到：图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取0，+)，得到=,=,那么当时，有.这时我们就说函数=在0,+ )上是增函数. 图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说， 当在区间（-，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取（-，0），得到=,=,那么当.这时我们就说函数=在(-,0)上是

3、减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的. 二、讲解新课： 增函数与减函数定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则说在这个区间上是增函数（如图3）；若当,则说在这个区间上是减函数（如图4）. 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当0,+)时是增函数，当(-,0)时是减函数. 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，

4、增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. 几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.三、讲解例题：例1、如图6是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以

5、及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 解：函数的单调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中在区间-5，-2)，1，3)上是减函数，在区间-2，1)，3，5上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2、证明函数在R上是增函数.证明：设是R上的任意两

6、个实数，且，则=(3+2)-(3+2)=3(), 由x，得0 ，于是0，即 .在R上是增函数.例3 证明函数在(0,+)上是减函数.证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且0,又由0 ,于是0，即 ，在(0,+ )上是减函数.例4讨论函数在(-2,2)内的单调性.解：，对称轴 若,则在(-2,2)内是增函数；若则在(-2,a)内是减函数,在a,2内是增函数若,则在(-2,2)内是减函数.四、练习：1、判断函数在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论.2、判断函数=在(-,0)上的单调性并证明你的结论。说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确

7、性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.3、判断函数在R上的单调性，并说明理由.五、小结 讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;根据定义证明函数单调性的一般步骤是：设,是给定区间内的任意两个值，且；作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）；判断的正负（要注意说理的充分性）；根据的符号确定其增减性.六、课后作业：单调性（第一课时）三维目标1知识与技能（1）巩固函数单调性概念，熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤，初步了解复合函数单调性的判断方法。（2）会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集。2过程与

8、方法 掌握函数单调性证明过程，并学会数形结合辩证思维的能力，和运用数学概念进行判断推理的能力，养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，领会数形结合分类讨论的数学思想。3情感、态度与价值观培养学生和同伴交流合作的能力以及在学习中不断反思形成勤于思考善于思考的能力。重点难点1教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤。2教学难点：单调性的综合运用。教学过程一、复习引入：1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值若当时，都有,则说在这个区间上是增函数；若当,则说在这个区间上是减函数.2.若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单

9、调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.3.判断证明函数单调性的一般步骤是：设,是给定区间内的任意两个值，且；作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）；判断的正负（要注意说理的充分性）；根据的符号确定其增减性.二、讲解新课：1函数单调性的证明例1判断并证明函数的单调性证明：设则 ，,即 （注：关键的判断）在R上是增函数. 2复合函数单调性的判断对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.证明：设，且在上是增函数，且在上是增函数，.

10、所以复合函数在区间上是增函数设，且，在上是增函数，且在上是减函数，.所以复合函数在区间上是减函数设，且，在上是减函数，且在上是增函数，.所以复合函数在区间上是减函数设，且，在上是减函数，且在上是减函数，.所以复合函数在区间上是增函数例2求函数的值域，并写出其单调区间解：题设函数由和复合而成的复合函数，函数的值域是，在上的值域是.故函数的值域是.对于函数的单调性，不难知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；二次函数区间上是减函数，在区间上是增函数当时，即，或.当时，即，.因此，本题应在四个区间，上考虑 当时，而在上是增函数，在上是增函数，所以，函数在区间上是增函数当时，而在上是增函数，在上

11、是减函数，所以，函数在区间上是减函数当时，而在上是减函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是增函数当时，而在上是增函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是减函数综上所述，函数在区间、上是增函数；在区间、上是减函数另外，本题给出的复合函数是偶函数，在讨论具有奇偶性的函数的单调性时，应注意应用其奇函数或偶函数的性质，以使解题过程简捷、清楚、具有条理性三、课堂练习（略）四、小结 本节课学习了以下内容：函数单调性的证明方法五、课后作业：（略）六、课后记： 函数的单调性是第一个接触的函数的性质，虽然从图像上来看的话，大部分学生能够判断出怎样的图像就是单调增、怎样的图像就是单调减的，但是由于学生对数学符号

12、语言的不适应，很多作业中会判断错误。函数的最值三维目标1知识与技能 了解函数的最大值与最小值概念，理解函数的最大值和最小值的几何意义，能求一些常见函数的最值和值域。2过程与方法 体验函数最值在图像上的反映，并学会由特殊到一般归纳推理、论证的思维方法，体会这种由形及数、数形结合的数学思想。3情感、态度与价值观通过绘制和展示优美的函数图像可以陶冶我们的情操，通过概念的形成过程可以增强我们主动的交流的合作精神，并体会到事物的特殊性和一般性的关系，培养我们的探究、推理的思维能力。重点难点1教学重点：函数最值的判断2教学难点：函数最值的判断教学过程一、复习准备：1.指出函数的单调区间及单调性，并进行证明

13、。2. 的最小值的情况是怎样的？3.知识回顾：增函数、减函数的定义。二学生活动问题1：观察下列函数的图象，并指出对于任意，与的大小关系观察得到：图（1）中，对于任意，都有；图（2）中，对于任意，都有 三建构数学问题2：如何用数学语言来准确地表达函数的最大值和最小值呢？通过讨论，给出的最大值和最小值的定义函数最值的定义： 一般地，设函数的定义域为 若存在定值，使得对于任意，有恒成立，则称为的最大值，记为；若存在定值，使得对于任意，有恒成立，则称为的最小值，记为；问题3：设函数的定义域为，若是增函数，则 ， ；若是减函数，则 ， 问题4：判断下列说法是否正确： （1）单调函数一定有最大值和最小值；（2）在定义域内不具有单调性的函数一定没有最大值和最小值四数学运用1例题例1（教材P36例3）如图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间 说明：求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出例2（教材P36例4）求下列函数的最小值：（1）； （2），变题1：将例2 的要求改为“求下列函数的值域”；变题2：求下列函数的值域： （1），； （2），变题3：求，的最小值解：，其图象是开口向上，对称轴为的抛物线 若，则在上是增函数，；若，则；若，则在上是减函数，的最小值不存在例3（教材P36例5）已知函数的定义域是，