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1、一、二次函数中的最值问题：例1:在平面直角坐标系中，全等的两个三角形ROB与RtAOC如图放置,点、C的坐标分别为（1，3），（0，1），BO 与A C相交于D,若AC绕点旋转90至OC，如图所示(1）若抛物线过C、 A、A,求此抛物线的解析式及对称轴; =-x22x+3（）、若点P是第一象限内抛物线线上的一动点，问在何处时APA的面积最大?最大面积是多少?并求出此时的点P的坐标。(3）、设抛物线的顶点为N,在抛物线上与否存在点,使 AAN与 AA的面积相等？,若存在,祈求出此时点P的坐标,若不存在，请阐明理由。例 2、(攀枝花)如图，在平面直角坐标系y中，四边形BCD是菱形，顶点A.D均在坐
2、标轴上，且AB=，snB=（1)求过ACD三点的抛物线的解析式;（2）记直线A的解析式为n,（1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+,求当y1y2时，自变量的取值范畴；(3）设直线AB与（)中抛物线的另一种交点为E，P点为抛物线上A.E两点之间的一种动点，当P点在何处时,PAE的面积最大？并求出面积的最大值解答:解:（1)四边形ABCD是菱形，AB=A=CD=B=5,sn=sinD;ROCD中,O=CDsinD=，OD=；OA=ADO=2，即：A（2,)、B(5,4)、C(0，4）、D(3,）；设抛物线的解析式为：a（x+2）(3）,得:2（3)4,a=；抛物线：y=x2+x+.（2）由A
3、（2,）、B(,4)得直线B：y1=x;由(1)得：y2=+x+4,则：，解得:,；由图可知:当yy时,2x5.(3）SAPE=Eh，当P到直线AB的距离最远时，SA最大;若设直线AB,则直线与抛物线有且只有一种交点时，该交点为点P；设直线:yx+,当直线L与抛物线有且只有一种交点时,x=x2x+4，且=;求得：=，即直线L:yx;可得点(，）由(2）得：E(5，），则直线PE：y=x+9；新 课 标 第一网则点F(，0)，AF=O+OF=;PAE的最大值:SPE=SPA+E=(+)=综上所述，当P(，）时,E的面积最大,为.针对训练：1、(宜宾）如图，抛物线1=x21交x轴的正半轴于点A，交
4、轴于点B,将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C.（）请直接写出抛物线y2的解析式;（2）若点P是x轴上一动点，且满足CPA=OBA,求出所有满足条件的P点坐标;（3）在第四象限内抛物线y2上,与否存在点，使得QO中OC边上的高h有最大值?若存在,祈求出点Q的坐标及h的最大值;若不存在，请阐明理由解答:解：（1）抛物线x21向右平移4个单位的顶点坐标为(4，1),因此，抛物线2的解析式为y2=(x4)21；(2）x=0时，=1，y0时，x21=,解得x1=1，=1，因此,点A(1,0）,B（,1),O=5，联立,解得,点C的坐标为(2，3）,CPA=OBA,点P在点A的左
5、边时,坐标为(1,），在点的右边时，坐标为(5,0），因此,点的坐标为（,0)或（5，0）；（)存在.点(2，3),直线O的解析式为y,设与C平行的直线y=x+b，联立，消掉y得,x302b0，当=0,方程有两个相等的实数根时，QO中OC边上的高h有最大值，此时x=x=(）=,此时=（4)1=，存在第四象限的点Q（,）,使得QOC中OC边上的高h有最大值,此时=1922（02b）=0，解得b=,过点Q与C平行的直线解析式为yx，令y0，则x=0,解得x,设直线与x轴的交点为E,则E(,0）,过点作D轴于，根据勾股定理，OC=,则snCO=,解得h最大=.2、如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与
6、轴交于点,已知点坐标为.（1)求抛物线的解析式;(2)试探究的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;(3)若点是线段下方的抛物线上一点，求的面积的最大值，并类型一、最值问题:类型一、最值问题:(泸州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，）,点B的坐标为（1,），已知抛物线ya2bx+(a0)通过三点A、O(O为原点)（1)求抛物线的解析式;（2)在该抛物线的对称轴上,与否存在点C，使OC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请阐明理由；()如果点P是该抛物线上x轴上方的一种动点,那么与否有最大面积?若有，求出此时点的坐标及PB的最大面积;若没有,请阐明理由(注意：本题中的成果均保存根号
7、）考点:二次函数综合题.3333分析:(1)直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式,可求解析式;(2)由于点A，有关对称轴对称，连接AB交对称轴于点,点即为所求,求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值,求纵坐标;（3）设P(,)(2x0,y0），用割补法可表达AB的面积,根据面积体现式再求取最大值时,x的值.解答:解：()将A(2,0)，B（1，)，O（0,0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c(0),可得：,解得:，故所求抛物线解析式为yx2x；(2)存在.理由如下:如答图所示，y=x2x=（1)+，抛物线的对称轴为x=1点在对称轴x=1上,BOC的周长=OB+C+CO；O=2，
8、要使BC的周长最小,必须BCCO最小,点O与点有关直线=对称,有COCA，BOC的周长=O+C+COBBC+C，当A、B三点共线,即点C为直线A与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时BC的周长最小.设直线B的解析式为kxt，则有:,解得:，直线A的解析式为y=x，当x=1时,y,所求点C的坐标为(,）；（）设P(x，y)(0,y0),则yx2x 如答图所示，过点P作PQy轴于点,PGx轴于点G，过点A作AFQ轴于点,过点B作BEPQ轴于点E，则PQ=x,PG=y，由题意可得:SPB=梯形AFEBAFPSBP=（AF+E)AFFPPEB=(+y)（1+2)(2+x)(x）(+y）=y+x+
9、 将代入得:A=（x）+x2x+=(x+)2+当x=时,AB的面积最大,最大值为，此时y=+=,点P的坐标为(，).类型二、摸索三角形的存在性。例1、（绵阳)如图，二次函数y=ax2bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,2）,交轴于、B两点,其中(1,)，直线：x=（m）与x轴交于（1）求二次函数的解析式和B的坐标;（2）在直线上找点P(P在第一象限)，使得以、D、B为顶点的三角形与以B、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表达);（）在（2）成立的条件下，在抛物线上与否存在第一象限内的点,使PQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在,祈求出点Q的坐标;如果不存在，请阐明理由.
10、考点：二次函数综合题分析:（）由于抛物线的顶点的坐标为（0,),因此抛物线的对称轴为y轴，且与轴交点的纵坐标为2,即b=,c=2，再将A（1，0）代入yaxbx+c，求出a的值,由此拟定该抛物线的解析式，然后令y=0,解一元二次方程求出的值即可得到点B的坐标;(2)设点坐标为（m,).由于PDBO90,则D与O相应，因此当以P、D、B为顶点的三角形与以、O为顶点的三角形相似时,分两种状况讨论:OCBBP；OCB.根据相似三角形相应边成比例，得出n与的关系式,进而可得到点的坐标;（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，222)，使PQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形.过点Q作Q于点E运用A
11、AS易证DBEP,得出BP,DP=E再分两种状况讨论：P(m，）；（m，2()）.都根据DPE，DPQ列出方程组，求出x与m的值,再结合条件x0且m1即可判断不存在第一象限内的点Q,使B是以P为直角顶点的等腰直角三角形.解答：解：(1)抛物线=x2+x+c的顶点坐标为C(,2）,b=0,=2；y=x2x+c过点A（1,),0=a+，a=，抛物线的解析式为y=x.当时,2x2=0，解得x=1,点B的坐标为(1,0）;(2）设（,n）DBBC=，当以P、为顶点的三角形与以、C、为顶点的三角形相似时,分两种状况：若OBDBP,则=,即=,解得由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，此时点P坐
12、标为（m，)或（m,）;若OCDB，则=,即=,解得n=22.由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件,此时点P坐标为(,m2）或(，2m）综上所述，满足条件的点的坐标为：(m,)，（m,）,(m，2m2)或（m,22m）（3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x,2x22)，使B是以P为直角顶点的等腰直角三角形如图,过点Q作QEl于点ED+BPD=0，QEBPD90，B=Q.在DBP与Q中，DBEPQ,BD=E,D=EQ.分两种状况：当P(m,)时，B(1，）,(m,0)，（,x2)，解得，（均不合题意舍去)；当（m,2（m1)时,（,0），D(m,)，E（m，x22),，解得,(均不合题意舍去);综上所述,不存在满足条件的点类型三、探究二次函数与圆:(巴中)如图,在平面直角坐标系中，坐标原点为O,A点坐标为(4,）,B点坐标为（1,0),以AB的中点P为圆心,A为直径作的正半轴交于点C(1)求通过A、B、C三点的抛物线所相应的函数解析式;(2)设为(1)中抛物线的顶点，求直线MC相应的函数解析式;（)试阐明直线MC与的位置关系，并证明你的结论.考点:二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式;勾股定理；勾股定理的逆定理;切线的鉴定24761专项:计算题.分析：（)求出半径,根据勾股定理求出C的坐标，设通
