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1、word本科生毕业论文论文题目： 线性变换的几何背景学 院 专 业 学 号 学 生 姓 名 指导教师某某 指导教师职称 指导教师单位 年 月 日学位论文写作声明本人X重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进展研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承当。 论文作者签名： 日期： 年 月 日论文作者签名： 导师签名： 日期： 年 月 日线性变换的几何背景摘 要线性变换可以通过几何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换精练化。本文
2、就通过研究几何现象所表现出来的线性变换、思考矩阵与线性变换在几何意义上的关系、思考线性变换一些性质所具备的几何意义、思考线性变换的非矩阵表现形式、思考线性变换和几何联系起来解决问题的思路以与思考射影几何上的线性变换。我们可以得出线性变换是运动的、线性的，许多几何现象都是线性变换，我们可以用矩阵来研究线性变换的几何意义，但矩阵只是研究线性变换的几何意义的工具之一，线性变换许多拓展相关的问题也涉与到几何现象，并且线性变换与几何联合起来对于解决某些问题存在好处，但不同的几何体系的研究客体对于线性变换来说也存在不同方面。关键词：线性变换；几何现象；矩阵The geometry background o
3、f linear transformationAbstract：Linear transformation could be visualized through the geometric phenomena, geometric phenomenon could be refined through the linear transformation. The article analyzes the linear transformation, reflects by geometric phenomenon, studies the relationship of matrix and
4、 linear transformation on the basis of geometric meaning, researches the geometric meanings of linear transformation, reflects the expression of nonnegativematrix of linear transformation, discusses the solutions to the questions on the basis of connection between linear transformation and geometry,
5、 and considers the linear transformation of projective geometry. In conclusion, the thesis finds out that the linear transformation is athletic, linear, and many geometry phenomena are linear transformation. The matrix could be used to analyze the geometry meaning of linear meaning, but the matrix i
6、s one of the tools to study the geometry meaning of linear transformation. Many of the linear transformation related problems are involved in the geometric phenomena, and the bination of linear transformation and geometry is beneficial to the solutions to some problems, but different geometry resear
7、ch objects have various aspects.Key words: linear transformation; geometry phenomenon; matrix 目 录一、根本定义和结论1二、几何现象中线性变换的影子2旋转变换的几何形象2反射变换的几何形象3投影变换的几何现象4伸压变换的几何形象5其他线性变换的几何形象5三、线性变换的几何意义与矩阵的几何意义的关系6四、与线性变换有关的分支问题的几何意义9、几何解释线性变换是否存在交换律9、几何解释线性变换是否消去律9几何解释线性变换的逆10同一线性变换下的矩阵相似的几何直观例子10线性变换对角化的几何意义11正交变换
8、的几何意义11线性变换中特征值与特征向量的几何意义11五、具有几何意义的非矩阵表示的线性变换11六、具体问题中线性变换与几何的息息相关12七、射影几何中的线性变换13仿射几何中的平移变换13仿射变换的优点14射影几何中线性变换分解反响出的几何意义14总结16参考文献17致谢18一、根本定义和结论我们在讨论这个问题时，首先给出几个熟悉的定义与结论。定义1：设为数域上的线性空间，为映射，且满足以下两个条件：i、；ii、。如此称为由到的线性映射，而此时如果是线性空间到自身的线性映射，如此称它为线性变换。而定义中的i和ii二条件也可用下述一条代替：定义2：设是数域上线性空间的一组基，是数域上线性空间的
9、一组基,设为由到的线性映射，上基向量的像可由上的基线性表出：于是其中令如此称为在基和下的矩阵，而此时如果是线性空间到自身的线性映射，如此称为在基下的矩阵。 定义3：设和是数域上的两个线性空间，假如满足：i、是到的一个双射；ii、；iii、。如此称是到的同构映射。此时称与是同构的。结论1：线性空间到上全体线性映射，对于下面定义的加法和数量乘法，也构成数域上的一个线性空间，我们记它为。(其中为由到的两个线性映射)。i、；ii、。而此时如果是线性空间到自身的线性映射，我们如此称线空间上的全体线性变换，对于上面定义的加法和数量乘法，也构成数域上的一个线性空间，我们记它为。结论2：数域上两个有限维线性空
10、间同构的充分必要条件是它们有一样的维数。线性空间的元与其坐标向量之间的对应是同构的，数域上的维向量空间与维向量空间是同构的。 结论3：正交变换是保持点之间距离不变的线性变换。且它在任一组标准正交基下的矩阵为正交矩阵。二、几何现象中线性变换的影子让我们先在欧式几何中看看，一些几何现象是否具有线性变换的影子？例如一缕阳光照射在物体在地面留下的影子的现象，某一物体发生旋转的现象，用手把一本书沿着一条对称轴翻过去的现象，用手压缩或拉伸某一固定物体的现象。我们先看旋转，在平面内，把一个图形绕点旋转一个角度的图形变换叫做旋转。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑把平面中每一个向量旋转的变换，其中。对于上
11、的任意向量，我们先来看这一变换的几何形象见图一和图二、图三。图一 图二 图三从图中我们可以直观看出两点：i)、和分别逆时针旋转之后的向量之和等于对作用得到的向量。ii、将的倍逆时针旋转之后的向量等于对作用得到的向量。我们再从定义1严格验证上述变换，可以容易得出它保持加法和数量乘法，故它是线性变换。即向量旋转的变换是线性变换。我们再看反射，物体或图形在某种变换条件下，其一样局部间有规律重复的现象，即在一定变换下的不变现象叫做反射。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑关于的轴反射的变换，其中。对于上的任意向量，我们先来看这一变换的几何形象见图四和图五、图六。图四 图五 图六从图中我们可以直观看出
12、两点：i)、和分别作关于轴反射得到的向量之和等于对作用得到的向量。ii、将的倍作关于轴反射得到的向量等于对作用得到的向量。我们再从定义1严格验证上述变换，可以容易得出它保持加法和数量乘法，故它是线性变换。即向量关于的轴反射变换是线性变换。我们紧接着看投影，用光线照射物体，在某个平面地面、墙壁等或者直线上得到的影子叫做物体的投影。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑投影到的轴变换，其中。对于上的任意向量，我们先来看这一变换的几何形象见图七和图八、图九。图七 图八 图九从图中我们可以直观看出两点：i)、和分别投影于轴的向量之和等于对作用得到的向量。ii、将的倍投影于轴得到的向量等于对作用得到的向
13、量。我们再从定义1严格验证上述变换，可以容易得出它保持加法和数量乘法，故它是线性变换。即向量关于的轴的投影是线性变换。通过上面的例子，我们可以看出一些几何现象确实具有线性变换的影子，这些几何现象可以用线性变换来表示。当中我们也可发现：线性变换具有线性和运动的观念。所谓线性，我们可以称它是自始自终保持某种组合不变的对应关系，所谓运动，是它可以看成从一个空间射到此空间的函数。这时，我们可以再来回头看看前面提出的问题，一缕阳光照射在物体在地面留下的影子的现象，某一物体发生旋转的现象，用手把一本书沿着一条对称轴翻过去的现象都是线性变换，因为我们知道图形是由无数个向量组成的，故几何体的旋转、反射、投影来
14、说都是线性变换，我们用伸压变换来验证。我们考虑用手去水平压缩一块正方形的物体，我们考虑建立平面直角坐标系，假设正方形所处的区域为，手用力的方向为轴的负半轴，且使它在接触线上受力均匀，它使物体被压缩了倍。我们可以用下面的图见图十和图十一来表示这个形变过程。图十 图十一而我们再考虑它是不是线性变换时，由于它是无数多向量组成，我们只需考虑变换，其中是不是线性变换，就可以判断上述的压缩物体的变换是不是线性变换。我们很容易验证此变换满足线性变换的加法和数量乘法，故是线性变换，如此此压缩物体的变换也为线性变换。此外，我们还可以通过检验发现更多的线性变换，他们各具几何特点，下面列表如下见表一。表1 常见的线性变换类型变换名称变换矩阵几何特征恒等变换图形变成图形伸压变换1、沿轴方向：2、沿轴方向图形变成图形，大小和形状可能变化反射变换1、关于轴反射2、关于轴反射3、关于反射4、关于原点反射图形变成图形，大小和形状不变，位置可能改变旋转变换图形变成图形，大小和形状不变，位置可能改变投影变换
