《高等数学中几个常见不等式及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学中几个常见不等式及其应用（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本科毕业论文（设计）题 目：高等数学中几个常见不等式及其应用学 生： 学号： 学 院： 专业： 入学时间： 年 月 日指导老师： 职称： 完成日期： 年 0 月 日高等数学中几个常见不等式及其应用摘要：在高等数学中，不等式的证明和应用是我们学习高等数学学问常见难题之一。本文将的介绍这些不等式，并探讨它们的证明、变形及应用。关键词：均值不等式；柯西不等式；施瓦茨不等式；Hlder不等式；Minkowski不等式A few common inequality in the application of higher mathematicsAbstract: In higher mathematic
2、s, the proof of inequality and application is one of the common problems we study higher mathematics knowledge. This article will introduce these inequalities, and the proofs are discussed, deformation and applications.Key words: Average inequality; Cauchy inequality; Holder inequality; Minkowski in
3、equality目 录0 引言（绪论）.41.1 平均值不等式.41.2 平均值不等式应用.51.3 平均值不等式的推广.52 柯西不等式.62.1 柯西不等式定理及证明.63 施瓦茨等式.83.1施瓦茨不等式定理.83.2 施瓦茨不等式应用.94 Hlder不等式.104.1 Hlder不等式定理形式及证明.104.2 Hlder不等式的应用.115 Minkowski不等式.125.1 Minkowski不等式定理及证明.126 结束语.13参考文献.13致谢.140 引 言不等式是高等数学学问探讨的基本工具之一，具有特别重要的地位。同时，不等式本身特别抽象，逻辑性很高，证明方法多种多样，
4、应用改变万千。本文将主要介绍柯西不等式、施瓦茨不等式和平均值不等式的定义，定理，及应用。1.1 平均值不等式 1 基本概念定理1 对随意个实数恒有 （1）（即几何平均值算术平均值）,其中当且仅当时成立。证 i 首先有 （2）（相等当且仅当） 类似的，随意的,重复上面方法k次（等号当且仅当时成立）。 ii记.假设不等式对也成立，则故 ,，因此不等式对随意成立，等号当且仅当时成立。1.2 均值不等式的应用下面通过例题说明均值不等式的应用例1 设正值函数在上连续，试证：.证：由已知条件得在上可积。将闭区间分成等分，利用积分定义得，得 .再由定理1，得，故 .1.3 均值不等式的推广定义1 设 ，记
5、，称为的次幂平均.它与算术平均的关系为，定义 2 （加权平均）, ,记，.和分别称为的（r次幂）算数平均。定理2 设不全相等，则有，即： .亦即：只有全相等时“”才成为“=”.2 柯西不等式2.1 柯西不等式定理及证明定理3 设a,b为随意数则， （3）等号当且仅当成比例时成立。（3）式称为柯西不等式。 证法（判别式法）.关于的二次三项式保持非负，故判别式. 证法（配方法）因故（1）式获证.当且仅当时成立，上式可以等于0。证法（利用二次型）即关于的二次型非负定，因此此即式（1）. 注 用方法，可以将结果进行推广.因此式右边为的二次的型，此式表明该二次的型非负定，因此系数行列式 （4）等号当且仅
6、当线性相关【即：存在不全为零的常数使得 】成立.3 施瓦茨不等式柯西不等式的积分形式被称为施瓦兹不等式，它可以通过积分的定义，得到柯西不等式干脆推动，因此柯西不等式的证明可以模拟类似的证法。3.1 施瓦茨不等式 定理4 若、在上可积，则 （5）若、在连续，当且仅当存在常数使得时成立，等号相等(不同时为零).证法I 将等分，令应用柯西不等式，令取极限，即得式（1） 证法II这就证明白式（5）.因此，假如、连续，当且仅当存在常数不同时为零，使得时成立. 类似可以推广到一般状况.若函数 在上可积，则假如在连续的，当且仅当 线性相关，等式时成立的。（即存在不全为零的常数使得时成立。）3.2施瓦茨不等式
7、的应用应用施瓦茨不等式，可证明一些不等式，但运用时应留意一些技巧，下面介绍一些例题，说明施瓦茨不等式的应用。例1 已知在连续，随意实数，证： （6）证 (1)式左端第一项应用施瓦茨不等式 （7）同理 （8）式（7）+（8）即得式(9).例2 假设函数在闭区间上有连续阶，并且求证：， （9）这里，.分析 i先设法证明 ，我们只要证明的结论是： 假如在上有连续导数，则必有 . (10)为把与联系起来，用公式.应用施瓦茨公式. (11)两边同时积分.两边同时开方，变得（10）式。ii回到一般状况，令，重复利用上述证明方法，即可证（9）式。4 Hlder不等式4.1 Hlder不等式基本形式及证明定理
8、5 设是2n个正实数，则：.证： 令 那么（利用Jensen不等式）即,得证。Holder不等式还有另一种表示形式，令则：4.2 Hlder不等式的应用 例3 设求函数的最小值。解：取由Holder不等式有5 Minkowski不等式5.1 Minkowski不等式基本形式及证明定理6 设均为实数，则特殊地，当，证： 由Holder不等式可知：由上述不等式可得：即：上述不等式称为明可夫斯基不等式当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和6 结束语以上介绍了几类常见的不等式。由上述实例可以看出，柯西不等式和施瓦茨不等式在高等数学学问的应用特别广泛，还有均值不等式的定理及推广，应用
9、到很多高等数学证明题中，可以做到深化浅出，使问题的解决更加简洁。也突显了不等式证明方法敏捷多样。但在数学的学习中，应详细问题详细分析，对待不同的问题，思维要敏捷，思路要清楚，找出问题的关键所在，把握问题本质，快速而精确地应用这几个常见的不等式取解决高等数学中的证明问题。参考文献：1同济高校数学教研室.高等数学M.北京：高等教化出版社.1981.2华东师范高校数学系.数学分析(第三版上册)M.北京：高等教化出版社.2001:17,44,88,120-121,142-143,215-216.3华东师范高校数学系.数学分析(第三版下册)M.北京：高等教化出版社.2001:52-57.4丰刚.几个积分
10、不等式及其应用J.牡丹江高校学报.2010(7):88.5王蓉华,徐晓岭,叶中行,白云芳.概率论与数理统计M北京：北京高校出版社.2010:4-5.6张禾瑞，郝炳新.高等代数(第三版)M.北京：高等教化出版社.1983.7中国不等式探讨小组.对中学数学竞赛的特地探讨J.不等式探讨通讯.2003(第3期).8薛贵庚.高等数学中证明不等式的思想方法J.科学与技术.2007(第4期).9张海山.高等数学学问在不等式证明中的应用J.甘肃教化学院学报.2000(4):68-71.10柴云.高等数学中微积分证明不等式的探讨J.现代商贸工业.2009(第20期)：244247.11 Inequalities:A Journey into Linear Analysis（Garling,D.J.H.） 著.世界图书出版公司12刘小琼，刘新乐.Jensen不等式在数学上的应用J.科教文汇.2008(3).13朱桂英，王雪峰.高等数学在证明不等式中的应用J.科技信息.2006：116117.14盛祥耀，高等数学（其次版 下册）M,北京：高等教化出版社，2003.15余建生.利用微积分证明不等式J.重庆学院学报.2008(4).16张昊.高等数学中不等式的证明方法J.数学教学与探讨.2009(第25期).
