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1、第二章基本初等函数金乡高中 金 瑜21指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）第一课时： 教学目标：1.理解n次方根、根式的概念；2.正确运用根式运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点：根式的概念、运算性质教学难点：根式概念的理解教学方法：学导式教学过程： （）创设情景；阅读问题1、问题2，认识将指数的取值范围进行推广的重要性和必要性。（）复习回顾 引例：填空（1）；a0= （a； (2) aman=_ (m,nZ)；(am)n=_(m,nZ)； (ab)n=_(nZ)（3）； -；（4）； (1)(2)复习整数指数幂的概念和运算性质；(3)(4)复习
2、平方根的概念（）讲授新课22=4 ，（-2）2=4 2，-2叫4的平方根23=8 2叫8的立方根； （-2）3=-8-2叫-8的立方根25=32 2叫32的5次方根 2n=a 2叫a的n次方根1.n次方根的定义：（板书）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根（ th root）,其中，且。 问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？是否正确？分析过程：例1根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n
3、次方根可表示为。从而有：，例2根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：其中表示a的正的n次方根，表示a的负的n次方根。例3根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。结论3：0的n次方根是0，记作当a=0时也有意义。这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：3.n次方根的性质：（板书） 其中 叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。4.根式运算性质：（板书
4、），即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？例4：求 ， ， ， 由所得结果，可有：（板书）性质的推导（略）：（）例题讲解例1求下列各式的值： （4）（ab）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。（III）课堂练习：求下列各式的值(1) (2) (3) (4)（IV）课时小结通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。（V）课后作业1、书面作业：书P65习题2.1 A组题第1题。2、预习作业：a.预习内容：课本P55P58。b.预习提纲：（1）根式与分数指数幂有何关系？（
5、2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？第二课时：教学目标：1.理解分数指数幂的概念；2.正确运用有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点：分数指数幂的概念和运算性质教学难点：分数指数幂概念的理解教学方法：学导式（I）复习回顾1.填空（1） （2）；（3） (4)（5）； （6）（II）讲授新课分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：；也可根据n次方根的性质来解：。问题1：观察，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：是否可行？分析：假设幂的
6、运算性质对于分数指数幂也适用，那么，这说明也是的3次方根，而也是a2的3次方根（由于这里n=3，a2的3次方根唯一），于是。这说明可行。由此可有：1.正数的正分数指数幂的意义：)注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。问题3：在上述定义中，若没有“a0”这个限制，行不行？分析：正例：等等；反例：；问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。2.负分数指数幂：3.0的分数指数幂：（板书）0的正分数
7、指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）； 问题5：若a0，是无理数，则a该如何理解？（引导学生先阅读课本P62P62）即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示) 由此，同样可规定 ap表示一个确定的实
8、数； 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明从略； 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。（III）例题讲解：例2求值：分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。例3用分数指数幂的形式表示下列各式：分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。（IV）课堂练习课本P59练习：1、2（V）课时小结通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。（V）课后作业1、书面作业：课本P65习题2.1A组题第22、预习作业（1）预习内容：课本P61例题4、5。（2）预习提纲：a.根式的运算如何进行？b
9、.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？第三课时教学目标 1.掌握根式与分数指数幂的互化；2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；3.培养学生的数学应用意识。教学重点：有理指数幂运算性质运用。教学难点：化简、求值的技巧教学方法：启发引导式教学过程 （I）复习回顾1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 ； 2.用分数指数幂表示下列各式（a0,x0） （II）讲授新课例1计算下列各式（式中字母都是正数） 分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方
10、计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但： 结果不能同时含有根式和分数指数；不能同时含有分母和负指数； 根式需化成最简根式。 例2计算下列各式： 分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。例3求值：分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。（III）课堂练习计算下列各式：要求：学生板演练习，做完后老师讲评。（IV）课时小结通过本
11、节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。（V）课后作业书面作业：课本P65，习题2.1A组第4题2.1.2 指数函数及其性质（1）教学目标1.掌握指数函数的概念、图象和性质.2.能借助计算机或计算器画指数函数的图象.3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质.教学重点指数函数的概念和性质.教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.教学过程一、以生活实例，引入新课材料1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么？材料2：当生
12、物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?结论： y=2x. P=（）.请问关系式y=2x，P=（）有什么共同特征吗？结论：在关系式y=2x和P=（）中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应，因此关系式y=2x和P=（）都是函数关系式，且函数y=2x和函数P=（）在形式上是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上. 即都可以用（0且1来表示）. 这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型指数函数.二、讲解新课（一）指
13、数函数的概念一般地，函数y=ax（a0，a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.知识拓展：（1）定义域为什么是实数集？ （2）在函数解析式y=ax中为什么要规定a0，a1？练习：判断下列函数是否是指数函数：y=23x；y=3x1；y=x3；y=3x；y=（3）x；y=x；y=3x2；y=xx；y=（2a1）x（a，且a1）.只有为指数函数.（二）指数函数的图象和性质问：指数函数y=ax，其中底数a是常数，指数x是自变量，幂y是函数.底数a有无穷多个取值，不可能逐一研究，选函数y=2x为例完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象124结合函数y=2x的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性），分析函数的图象特征合作探究：是否所有的指数函数的图象均与y=2x的图象类似？画出函数y=8x，y=3.5x，y=1.7x，y=0.8x的图象，你有什么发现呢?结论：y=0.8x的图象与其余三个图象差别很大，其余三个图象与y=2x的图象有点类似，说明还有一类指数函数的图象与y=2x有重大差异. 那么从中选择一个具体函数进行研究，以函数y=（）x的图象.为例合作探究：函数y=2x的图象和函数y=（）x的图象的异同点. 给出结论教材第62页图表合作探究：函数y
