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1、 江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O的直径AB10，C为圆上一点，BC6.过C作圆O的切线l，ADl于点D，且交圆O于点E，求DE的长B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M，求逆矩阵M1的特征值C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点A，圆C的方程为4sin(圆心为点C)，求直线AC的极坐标方程D. (选修4-5：不等式选
2、讲)已知a0，b0，求证：a6b6ab(a4b4)【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA平面ABCD，AB1，ADAS2，P是棱SD上一点，且SPPD.(1) 求直线AB与CP所成角的余弦值；(2) 求二面角APCD的余弦值23. 已知函数f0(x)x(sinxcosx)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1) 求f1(x)，f2(x)的表达式；(2) 写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明(十一)21. A. 解：因为圆O的直径为AB，C为圆上一点，所以ACB9
3、0，AC8.因为直线l为圆O的切线，所以DCACBA.所以RtABCRtACD，所以.(5分)因为AB10，BC6，所以AD，DC.由DC2DEDA，得DE.(10分)B. 解：设M1，则MM1，所以，所以解得所以M1.(5分)M1的特征多项式f()(1)0，所以1或.所以，矩阵M的逆矩阵M1的特征值为1或.(10分)C. 解：(解法1)以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.圆C的平面直角坐标方程为x2y24y，即x2(y2)28，圆心C(0，2)A的直角坐标为(，)(4分)直线AC的斜率kAC1.所以，直线AC的直角坐标方程为yx2，(8分)极坐标方程为(cossin)2
4、，即sin2.(10分)(解法2)在直线AC上任取一点M(，)，不防设点M在线段AC上由于圆心为C，SOACSOAMSOCM，(4分)所以22sin2sin2sin，即(cossin)2，化简，得直线AC的极坐标方程为sin2.(10分)D. 证明： a6b6ab(a4b4)a5(ab)(ab)b5(2分)(ab)(a5b5)(4分)(ab)2(a4a3ba2b2ab3b4)，(8分)又a0，b0， a6b6ab(a4b4)0，即a6b6ab(a4b4)(10分)22. 解：(1) 如图，分别以AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0
5、)，D(0，2，0)，S(0，0，2)设P(x0，y0，z0)，由，得(x0，y0，z02)(0，2，2)， x00，y0，z0，点P坐标为.，(1，0，0)，(2分)设直线AB与CP所成的角为，则cos.(4分)(2) 设平面APC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，所以令y12，则x14，z11，m(4，2，1)(6分)设平面SCD的一个法向量为n(x2，y2，z2)，由于(1，0，0)，(0，2，2)，所以令y21，则z21，n(0，1，1)(8分)设二面角APCD的大小为，由于cosm，n，所以，由向量m，n的方向，得coscosm，n.(10分)23. 解：(1) 因为fn(x)为
6、fn1(x)的导数，所以f1(x)f0(x)(sinxcosx)x(cosxsinx)(x1)cosx(x1)(sinx)，(2分)同理，f2(x)(x2)sinx(x2)cosx.(4分)(2) 由(1)得f3(x)f2(x)(x3)cosx(x3)sinx，(5分)把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为f1(x)(x1)sin(x1)cos，f2(x)(x2)sin(x2)cos，f3(x)(x3)sin(x3)cos，猜测fn(x)(xn)sin(xn)cos(x)(*)(7分)下面用数学归纳法证明上述等式() 当n1时，由(1)知，等式(*)成立；() 假设当nk时，等式(*)成立，即fk(x)(xk)sin(xk)cos.则当nk1时，fk1(x)fk(x)sin(xk)coscos(xk)(xk1)cosx(k1)x(k1)sinx(k1)cos(x)，即当nk1时，等式(*)成立综上所述，当nN*时，fn(x)(xn)sin(xn)cos成立(10分)
