《全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题参考答案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高二年级)8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设 步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题(本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。)uur uuuuuiruuur1.已知P是 ABC所在平面上一点，满足 PA PB 2PC 3AB,则 ABP与 ABC的面积之比为1: 2.*，*、一”2 .已知数列an满足：ai2Iranian 2anan 1 an2(nN ),则 aa?La2oii4022.3 .已知 R ,如果集合sin ,cos2 cos ,sin 2 ,则
2、所有符合要求的角构成的集合为 | 2k ,k Z.4 .满足方程x2 8xsin(xy) 16 0 (x R, y 0,2 )的实数对(x, y)的个数为 8.15 .设z是模为2的复数，则|z |的最大值与最小值的和为 4. z36 .对一切满足|x| |y| 1的实数x,y,不等式|2x 3y -1 | y 1| |2y x 3| a恒成立，则 2实数a的最小值为23.27 .设集合 A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.如果方程 x2 mx n 0 ( m,n A)至少有一个根 x0 A,就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为238 .已知关于x的方程|x k| kTx在区间k
3、1,k 1上有两个不相等的实根，则实数 k的取值2范围是 0 k 1.二、解答题(本大题满分 56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分)19 .已知一次函数 y f(x) x2 bx c的图象过点(1, 13),且函数y f (x 一)是偶函数.2(1)求f (x)的解析式；(2)函数y f(x)的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由12解 (1)因为函数y f(x -)是偶函数，所以二次函数f(x) x bx c的对称轴方程为x2故4又因为二次函数 f(x)x2 bx c的图象过点(1, 13),所
4、以1 b c 13,故c 11.因 此， f (x) 的 解 析 式 为f (x) x2 x 118(2)如果函数y f(x)的图象上存在符合要求的点，设为P(m,n2),其中m为正整数，n为自然数，则 m2 m 11 n2 ,从而 4n2 (2m 1)243,即2n (2m 1)2n (2m 1)43.12解得注意到 43是质数，且 2n (2m 1) 2n (2m 1), 2n (2m 1)0,所以有2n2n(2 m 1) 43, (2m 1) 1,m 10, n 11.因此，函数y f (x)的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121).16110.已知数列an满足a1 -,an
5、 132an* 一 .*an 2(n N ).证明：X一切 n N ,有 n(1)anan 11;解(1)显然，an 0,所以an1an2an.*二 an ( n N ) n一一一 *所以，对一切k N , ak 1ak 111ak t ak=akak1，所以 kkakak 11 k2 .5分所以，当n 2时,an1n 1 111(-)a1k 1 akak 1 alk 1 k23 1n 11k 2 k(k 1)3 11；)1 n3 1 11 ，n 1 n 1所以an 1.1一，,*,又a1- 1 ,故对一切n N ,有an3分1.因此，对一切n N ,有anan 11 .10(2)显然a111
6、11.由 an 1,知 ak 1ak3 4 2 4akk2所以akk2k2 1ak 122ak1 kak 1ak- ak - ak ak 1k k k 1akakak 1，所以k 1akak 11k2 115所以，当n N且n 2时,1n 1 111一 (一 )a1k 1 akak 1 aln 11k 1 k2 1n 11n 1 113 3()k 1k(k 1) k1 k k 113 (1 -) n2n 1nn 11112n 1 2 2(2n 1) 2 4n202211.已知椭圆c： 土 L421 ,过点P（1,；）而不过点Q（J2,1）的动直线l交椭圆C于A、B两点.(1)求/ AQB（2）
7、记4QAB的面积为S,证明：S 3.解（1）如果直线l的斜率存在，设它的方程为y kxb,因为点P在直线l上，所以1).联立直线l和椭圆C的方程，消去y,得（2 k21)x24kbx 2 b2 4 0.设 A(x1,y1), B(x2, y2),x1x24kb2k22b2 42k2 1y y k(x1 X2) 2b4k2b2k2 12b2b2k2y1 y2 (kx1 b)(kx2 b)I 2k x1x2kb(X1x2)b2k22b22k2 14kbkb (2)2k 1b2b2 4k22k2 16uur -因为 QA (x 2Vl 1)uur QB(x2. 2,y21)，所以uuu uur _Q
8、AgQB (Xi 2vi 1)g(X2、2，V2 1) (Xi Zd 、2) (y 1)也 1)x/2 J2(x X2) 2 NW (y V2) 1_ 222_2b 4 x , 4kb 、 b4k 2b /2，2 (2)22212k2 12k2 1 2k2 1 2k2 11一3b2 2k2 2b(2、.2k 1) 12k 1二二1( , 2k 1)2 2k2 2(、. 2k 1)(2、2k 1) 12k 1 33=0,uuu uuu所以QA QB,显然A、Q B三点互不相同，所以/ AQB= 90 .如果直线l的斜率不存在，则A、B两点的坐标为(,17 33),容易验证/ AQB= 90也成立
9、.12(2)由(1)知/ AQB= 90/AQB分,所以 QAB是直角三角形.90如果直线QA或QB的斜率不存在,易求得 QAB的面积为S2.23.如果直线QA和QB的斜率都存在,不妨设直线 QA的方程为ym(x72) 1,代入椭圆c的方程,消去 y ,得(2 m2 1)x2 4m(J2m1)x 2(V2m 1)2 4 0,则|QA| .m2 14m(. 2m 1)2 m2 12 42( . 2m 1)2 4.8 | . 2m 1|2m2 12 m2又QB, QA所以，同理可求得|qb| ：( m)216于是， QABW面积为8 | .2 (-)m_2( -)2 1m分1|.8 卜2 m|m2 21_1S 11QAgQB1 2、8 |、. 2m_ 22m2 1m|24 (m2 1)| . 2m 1| |、2m|(2 m2 1)(m2 2)4 (m21)卜 2(1 m2) m|2(m2 1)2 m221 m_2_m 12 (-m m月11)2cos2m sin，则 S 4 m2 1-1 .|、一 2 cos-sin |注意到屋 2 cos|sin(-sin | 22Isin2,2 ”2 ,且等号不能同时3取得，所以S 4 2 3.20 分2
