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1、鱼塘最大捕获量问题摘 要 本文讨论了如何通过控制鱼群休养时间和捕获能力，使得捕获量最大并 且渔业可持续发展的问题.对问题一：首先，通过基本假设、模型简化和微分的数学思想建立相关微分 方程，其次，运用微分方程中常数变易法和变量分离法对方程进行求解.此外通 过微分方程可求得现实生活中鱼苗尾数和每尾鱼重随时间变化的相关函数.对问题二：通过微分和数形结合的思想建立了微分方程模型，利用微分方程 理论对方程平衡点进行分析，结合Mat lab、Maple等相关软件绘制捕获量和鱼尾 数的函数示意图得出结果的实际意义.当捕捞时间满足T时，可以获得持续最大捕获量.若捕获时间大于T,则会 加剧鱼群竞争，不利于鱼群增
2、长，造成经济损失若捕获时间小于T,则为过量 捕捞，不利于渔业可持续发展，浪费自然资源.本模型应用范围广泛，不仅适用于优化渔业资源，实现其可持续发展，也可 适用于家禽养殖、林业和畜牧业等相关领域.关键词 最大捕获量；尾数；捕获时间问题的提出渔业资源是一种可持续资源 .合理使用该资源既可以使渔业产量最大 化，也可以使渔民收益最大化.而随着时间增长，鱼的尾数会随着饲养、繁 殖和鱼塘内部环境的变化而改变.通过建立数学模型，控制捕获时间和捕获 量，使得从捕捞时间开始的持续捕获量最大.该实际问题的解决对渔民有重 要意义.通过建立具体的数学模型，解决以下问题：问题一：在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间增长鱼苗尾数
3、减少，而其重 量增加.因为喂养引起每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗 引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比，依据条件分别建立尾数和每 尾鱼重量的微分方程，并进行求解.问题二：为使鱼苗持续增长，所以用控制网眼的办法不捕小鱼，到厂时 刻才开始捕捞确定其捕捞能力使得从厂时刻开始的捕获量最大.二、问题的分析1、鱼的尾数和自然净相对增长率有关2、鱼的尾数和捕获量有关；3、鱼的尾数和相对减少率有关；4、捕获能力与鱼的尾数有关；5、捕获时间与鱼群变化率有关;6、鱼的尾数和繁殖率有关.三、基本假设1、尾数的相对减少率为常数；2、由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比3、由于消耗引起
4、的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比；4、鱼的自然净增长率为常数；5、鱼塘内部环境稳定，尾数不受自然灾害影响；6、渔网眼为正方形，鱼为立方体模型.四、符号表示付号表示意义n(t)t时刻鱼的尾数m0投放的每尾鱼苗的质量n0投放的鱼苗的尾数鱼的密度m(t)时刻每尾鱼的质量ki尾数n(t)的相对减少率k2每尾鱼重量增加率与表面积的比例系数k3每尾鱼重量减少率与重量本身的比例系 数a正方体的边长a0网眼边长r网眼边长e捕捞能力五、模型建立模型一 根据尾数n(t)的相对减少率为常数可列出关于尾数变化的微分方程，根 据每尾鱼重量的增加率与表面及成正比，重量的减少率与重量本身成正比可列出 关于重量的微分方程
5、.关于尾数的微分方程：dn(t)=-kn(t) dt 1n(0) = n0关于重量的微分方程：2)dm(t) = ks - km(t) r 时，当E 0,dn dy(n K o dnd (n K 0i 0， dndy(n )、0dnn 稳定，1n 不稳定2n 不稳定， n 稳定12由上面的分析可知，当E r，最终鱼量会2趋于 0.将n带入(4),求出当鱼的尾数达到n时所需的时间为t =丄ln(厂。)221 k k(r -E)_i当正方体的边长a刚好等于网眼对角线长屈时，所需时间为，此时，由m二 将m带入上式得=p a 3 得，詁 2a = a = m 3 p - 303t = ln2k3在t时
6、刻捕获可得最大捕获量.116k _2v 2a p 3 2 p 30 k316k 2m 3 2 p 30 k( 1 ) . 当 t t 时，12 在自然条件下，鱼量随1时0 间增长符合关系式9= rn(1-殳)，捕捞率 h = En9 dtkn记f (n) = rn(1-)，在原点处f的切线方程为f (n) = rn kn 7 作出f (n) = rn(1-)与f (n) = En的图像(如图1)，图1k(注：因r与k为常系数，所以根据数据拟合取r与k为定值作图)所以，当E r时，h = En与f (n) = rn(1-)有交点p，且p的横坐标为(n , 0). k2 由直线h = En知，p纵
7、坐标f (n)= En为稳定条件下单位时间的持续产量.由图 12知n二k时，有最大捕获量32f (n ) rE二 亠二2当 t t 时，12n (t )2n32)此时，最大捕鱼量为f (n)二En与f (n)二rn(1-)在顶点相交时产量最大，此时由f (n)二rn(1-)矢口， kk f (n )=乞，而在顶点处有En = f (n)，所以 3 4 3 3在时刻t可获得最大捕鱼量，此时鱼塘中有鱼条数为21r 1 r+ ekt2 e - (E-r) e( E-r )t2k (r - E) nk (r - E)f (n)= rn(t )(1-2)2k0捕捞强度为七、模型评价与推广本模型的优点是：将鱼简化成立方体模型，并根据已知条件建立并求解微分 方程，通过数形结合对结果进行分析.缺点是虽然将鱼简化成立方体模型，大大 简化了求解难度，但与实际情况不相符.该模型应用范围广泛，不仅适用于优化渔业资源，实现其可持续发展，也可 适用于家禽养殖、林业和畜牧业等相关领域.
