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1、第四讲圆锥曲线中的定点定值问题一、直线恒过定点问题例1.已知动点E在直线l: y = -2上，过点E分别作曲线C: x2 = 4y的切线EA, EB ,切点为A、B,求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设E(a,-2), A(x ,笠),B(x ,it)， ,/ y =兰 /. y = x142 442过点4的抛物线切线方程为y-笠=1 x (x-x )，切线过E点42 i ix 21. 2 i = x (a x ),整理得：x2 2ax 8 = 042iii i同理可得：x2 2ax 8 = 0. x , x 是方程x2 一 2ax 一 8 = 0的两根.x + x = 2a,
2、 x - x = 8i2i 2i2x 2 x 2可得纺中点为(a,竺旦)，又k =；=艾圣=x4 = a2AB x x x x 42i 2 i 2直线AB的方程为y ( + 2) = a (x a)，即y = ax + 2 二 AB过定点(0,2).222例2、已知点P(x , y )是椭圆E:三+ y2 = i上任意一点，直线l的方程为 + y y = i， 直线l过P 002200点与直线1垂直，点M(-1,。)关于直线。的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。解：直线 1 的方程为 x (y y ) = 2y (x x )，即 2y x x y x y = 000000000
3、02 x 3 + 3 x 2 4 x 4 m =000x 2 402 x 4 + 4 x 3 4 x 2 8 xn = 00002 y0(4 x02)设M(i，0)关于直线10的对称点N的坐标为N(m, n)n x=m m +12 y,则0，解得2y xy = 0I 02200直线PN的斜率为k = M = %4 +4：03 + 2厂 - 8m x 2 y (x 3 3x 2 + 4)从而直线PN的方程为：y - y o000-2 y (-x 3 - 3x 2 + 4)_ x 4 + 4 x 3 + 2 x 2 - 8 x - 8()0P是椭圆在第一象限弧上一（2）求证直线AB的斜率为定值;2
4、,b _ w2, c _2克，所以椭圆的方程为彳+二_ 1即 x =2 y0(-x03 -3x02 + 4)X 4 + 4 X 3 + 2 X 2 - 8 x - 80000从而直线PN恒过定点G（1,0）二、恒为定值问题 例3、已知椭圆两焦点F1、f2在y轴上，短轴长为y，离心率为宇 点，且PF PF = 1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标;y 2 x 2、解：（1）设椭圆方程为云七=1由题意可得则 F (0/2), F (0,-克)，设 P(x , y )(x 0, y 0)120000则 PF _ (-x ,%；2 - y ), PF
5、 _ (-x ,-，2 - y ),100200.PF PF = x2 -(2-y2)_ 1,.点P（x,七）在曲线上，则亍+ 土 _1.x0 _ 0从而号2-（2-yj） _ 1，得y0_*2，则点p的坐标为（1a2）（2）由（1）知PF /x轴，直线PA、PB斜率互为相反数， 1设PB斜率为k（k 0），则PB的直线方程为：y -侦2 _ k（x-1）得(2 + k2)x2 + 2k(v2- k)x + 2 - k)2 -4 _ 0y - 72 _ k (x-1)x2y2 1M+彳_ 12k (k f2)1k 2 - 2 J2k - 2设B(x, yB),则 xB =-1 =k 2 + 2
6、 气 2k - 2同理可得xA =2k，贝U xA8kyA - yB = - k (xA -1)- k( xB -1)= -所以直线AB的斜率k = A二=技为定值。AB x - xx 2y 2例4、已知动直线y = k(x +1)与椭圆C: + ： = 1相交于A、B两53点,已知点7八M (- ,0)，求证：MA - MB为定值.解：将 y = k(x +1)代入+= 1 中得(1+ 3k2)x2 + 6k2x + 3k2 5 = 055 3. = 36k4 - 4(3k2 + 1)(3k2 - 5) = 48k2 + 20 0 ,6k23k2 - 5x + x = ， x x =1 23
7、k 2 + 11 2 3k 2 + 1所以MA-MB = (x + 7, y )(x + 7, y ) = (x + 7)(x + 7) + y y13123213231 277,=(x +)(x +) + k 2( x + 1)(x +1)132312/、,7、49 ,=(1+ k2)xx + (3 + k2)(x + x ) + + k2=(1+ k 2)J + (7 + k 2)( -土) + 49 + k 23k 2 +133k 2 +19-3k4 16k2 5 49 74=+ + k 2 =-3k2+199课后作业:% 21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: + y2 =1.如
8、图所示，斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆C于A , B两点，线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G，交直线x = -3于点D(-3,m).(I) 求m2 + k2的最小值；(II) 若OG2 = |OD|OE|,求证：直线Z过定点；解：(I)由题意:设直线l: y = kx + n(n丰0),y = kx + n由x2消 y 得：(1+ 3k2)x2 + 6knx + 3n2 -3 = 0,y + y2 =1A = 36k2n2 - 4(1+ 3k2) x 3(n2 -1) = 12(3k2 +1 - n2) 0设A(x , y )、B(x , y ) ,AB的中点E(x , y
9、)，则由韦达定理得：112200-6kn e-3kn-3kn nx + x =，即 x =, y = kx + n =x k + n =12 1 + 3k 201 + 3k 2001 + 3k 21 + 3k 23knn所以中点E的坐标为G),1 + 3k 2 1 + 3k 2因为0、E、D三点在同一直线上，一 .,一1 m1所以kOE = KD，即-豆 =_3，解得m = k , 1所以m2 + k2 = 一 + k2 2，当且仅当k = 1时取等号，即m2 + k2的最小值为2. k 2m(I)证明：由题意知:n0,因为直线0D的万程为y = -x,my=-yxrmr所以由 0)上的一点，
10、若4(4,0)，是否存在垂直x轴的直线l被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：设AN的中点为B，垂直于x轴的直线方程为x = a，以AN为直径的圆交l于C,D两点，CD的中点为H .|CB| = 1 AN| =羊(x -4)2 + y2 ,X + 4a2.：.|CH I2 = |CB|2 BH I2 = 4 (X 4)2 + * 4( X 2a + 4)2bh =2 卜2a + 4|1rz=(4a 12) x 4a2 + 16a = (a 3)x a2 + 4a4所以，令a = 3，则对任意满足条件的x ,都有|CHI2 = -9 +12 =
11、 3 （与X无关），即|CD| = 2有为定值.已知槌物践的焦点为F，A、E是抛物线上的两动点，巨=%FB0。），这&、B两点分别作抛物直的圳武，设其交点为M. + . 芯- lM： =共，c.:= 1, it -X iy-X -t 1 * 亡割弓：二丁 ，电九仁N气罚. E RH t主土 31.为- * X , i K X . : I y . y- 3，X . : x x . 顷：，：B = ：._ x.X.+A,I.+l匕；=七-,币 M四品而.齐u住 柞：、=二= “，八=: Ri，_l广，-1 竟 一JtMt，应二 t -!2- ?： 7s 七 x.,：七-：r.；L： ； I： ；
12、1， T 丑侦1巾 1也-,r.fr.=-f- it | .视,奇-成 .-1：- :-2: 1：-：!.： -：jrll.至产土勺=0-定值命题得证.41 J她-T % 跖:里”=芝二模)如企，已刁椅目：J-J-L F 1高，:牝勺*，E、拘回：圣王顶目，,IF回7：(z+2) zr2 (r0) 设曲与牖国。立于点H与点可.:)末怖曰一正习程：2：求虱?，由呐星亘，三求：汁1回T#方底；：3： iHF 是花但。一乒十 G H 的三M 臣，匚巨快工 F，CF-rj5, :. TE：:?. |暗|为定B T _ 常：(i，- * 我范 m= ： 二?二 ：a- c = -|3 b- -j4_3-1 ?攻摭曰-n；叮理为；七任一 i. - ； - J J ?)Ti-;占 Tr=u7 丁 i，往 m 怀，役N t” rf) i ir(S1 - -Jj)-苹妨设山干顷T勒国。-，出”二1_.- H ?，房？由 ESni - n 顼云=，#H, 丁).万=*十L -七卜- TM .两二叩!- -七)-) 土=%+2) J1-%弓妒+4% T_*工,_=)一= (: 孑)由U 冲土七一-
