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1、高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“丿”，错的打“X”每小题1分，共10分）1、p（x）若是数域F上的不可约多项式，那么p（x）在F中必定没有根。2、若线 性方程组 的 系数行列 式为 零， 由克莱姆法（则知）， 这个线 性 方程组 一 定 是无解的 。）实二次型f（叫，x2，,x丫12nW = Xx , x , x123数域 F 上的每一个线性空间都有基和维数。（）6、两个 n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （）7、零变换和单位变换都是数乘变换。8、线性变换b的属于特征根九0的特征向量只有有限个。欧氏空间V上的线
2、性变换b是对称变换的充要条件为 ）3、4、5、9、（10）正定的充要条件是它的符芋差为ne R，i = 1,2,3;x = x = x 了是线性空间R 3的一个子空间。（） i123若乞严2,an是欧氏空间V的标准正交基）b关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。且P =工x aiii=1那么IN =（二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无 分。每小题 1 分，共 10 分）1、广于多项式的 fn G）, g. C f，f，f ）= 1 of , f ）= 1, C 丰 j, i, j = 1,2,., n）：命题中，错
3、误的是（ ） （儿）g Cx ）= （f Cx ）+ g Cx ）1 （x ）； 若（f （x） g （x）= 1 n （f （x）+ g （x）,f （x） g （x）= 1。2、设D是一个n阶行列式，那么（ 行列式与它的转置行列式相等；）D中两行互换，则行列式不变符号；若D = 0，则D中必有两行成比例。 ） A 中每个 r 阶子式都不为零；若D = 0，则D中必有一行全是零；3、设矩阵A的秩为r（r 1），那么（A中每个s（s r）阶子式都为零； 中肯定有不为零的r阶子式。4、设f （x1，x2，x丿为n元实二次型，则”212n12n负惯性指数=f的秩、正惯性指数=0； 符号差=一 n
4、；5、设匕a .a 是线性空间V的一个向量组，1 2 m都有区ka.iii=1A中可能存在不为零的r +1阶子式;f （x1，x2,，xn ）负定的充要条件为（） f 的秩= n它是线性无关的充要条件为（ ）任一组不全为零的数，k2，k ,1 2 m任一组数k1，k 2,，k，有 kamii=1=0；i当ki = k2时，有i=1瓦 k a = 0.ii瓦k aii任一组不全为零的数k1,k2，k，都有1 2 mi =16、若W,W2都是n维线性空间V、的子空间，那么（维（W）+维（W n W ）=维（W）+维（W + W ）； 维W）+维W +W2）；维 1 +维 1 2 =维 2 +维 1
5、 2 ； 维（W丿一维VW n W ）=维VW + W丿一维VW ）1 1 2 1 2 27、设b是n维线性空间V的线性变换，那么下列错误的说法是（）b是单射Ob 的亏=0； yb是满射Ob的秩=n ；b是可逆的o核丿=bl;b是双射ob是单位变换。8、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）维（W + W ）=维（W）+维（W ）.1 2 1 29、合同的； 相似的； 相等的； 正交的。 设V是n维欧氏，那么V中的元素具有如下性质（）若匕,B）=（a,YP =Y ；若园=|卩na = P ；若匕。）=1 n|a =1 ；若6卩）0 =冈=|卩|。10、欧氏空间 R 3丄A中的标准正交基是（ ）
6、1111)11,0,-丄6,1,0)； V2丿111 10）r2迈,0 J；j； (w)；1、I；6,0,0）；C-口）C口，1）1，-1）。IJ3 J3 J3 丿3 v 3 J3 丿、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空2分，共20分） 多项式f （x） = x 4 + x 2 2在实数域R上的标准分解为。a000c00若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3,那么该方程组的增广矩阵的秩等于在线性空间V中，定义b（x）=a 0 （其中a 0是V中一个固定向量），那么当a 0 =时，&是V的一个线性变换。实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此
7、的。n阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为类。若基I到II的过渡矩阵为P，而向量a关于基I和II的坐标分别为X和Y，那么着两个坐标的关系是. 设W是线性空间V的非空子集，若W对V的加法和数乘，则称W为V的子空间。，那么&关于基2 ,a1 h勺矩阵为2、3、4、5、6、7、8、9、利用行列式的性质可知四阶行列式时,若线性变换&关于基乞，2的矩阵为的值为.10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误 1 分，更正错误2 分。每小题3 分，共 15 分）1、如果P（x）是f（x）的导数f（x）的k 1重因式，那么
8、P（x）就是f（x）的k重因式。2、若线性方程组AX = B相应的齐次线性方程组AX二0有无穷多解，那么AX = B也有无穷多解。3、设A是一个m X n矩阵，若用m阶初等矩阵ECG4）右乘A，则相当对A施行了一次“ A的第三列乘5加到第四列”的初等 变换。4、若巴02都是数域F上的方阵A的属于特征根化的特征向量，那么任取k1，k2 e F,k11 + k；2也是A的属于化的特征向量。5、设&是欧氏空间V的线性变换，那么&是正交变换的充分必要条件是b能保持任二个非零向量的夹角。2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示下列线性方程组的全部解x + 3 x - x + 2 x1233 x + x
9、+ 2 x233x - x -2i2 x 14 x1-x = - 445- 5 x - 4 x = -145x + x = 445+ 16 x + x + 3 x - 9 x2=-215五、计算题（每小题10分，共40 分）1、计算 n 阶行列式1 + a1111111 + a1 112D =111 + a11n3111 11 + an(123 (1- 3 0、3、解矩阵方程32 4X 二1027)4丿右乘A，则相当对A施行了一次“A的第三列乘5加到第四列”的初等变换。A 的第 4万【乘 5 加到第 3万4、若a1,a2都是数域F上的方阵A的属于特征根九0的特征向量，那么任取仆k2 e F,
10、ky、+ k2a?也是彳的属干X0的特征向量。当时k1a1 + k2a2丰0时，qa1 + k2a2是仝的属于九0的特征向量(1设 a1I0 0丿0 ,a4(01丿M (F)的201(2 3、(1 - 2、(-1 2、(1 - 3、,0 =,0 =,0 =Q 2 2J -1丿3-1 2 丿4 2 2 丿是另一组基，求由2, 3 4 到 直02,03,04渡矩阵，并求向量E(5在02,03,04下的坐标。六、证明题设ai，a2,a3是三维欧氏空间V的一个标准正交基,=1(2a + 2a -a )31230 =1(2a -a + 2a )3123=-(a - 2a - 2a )3 123试证：也是V的一个标准正交基。高等代数试卷参考解答一、判断题1X二、单项选择题 12X23v34v45X56v67v78X89v910v10三、填空题()x -1)( +1人 2 + 2 丿；1、2、acef ；3、5、正交;6、(n + l)n + 2)7、4；Y 二 P-1X ；4、0；8、封闭;5、设a是欧氏空间V的线性变换，那么a是正交变换的充分必要条件是a能保持任二个非零向量的夹角。 必要条件
