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1、空中飞行器无源定位数学模型摘 要：本文根据题目要求，综合运用数据拟合、GM 1,1预测等数学模型，结合无源定位技术算出了飞行器的位置参数以及在可用卫星数较少时，飞行器在不同时刻 的位置，最后考虑到定位的精度与效率问题，综合分析了卫星的数量与空间几何分布等 因素的影响，给出了卫星优选方法。对于问题（1）,通过建立地心坐标系，将物理几何关系与题中所给数据联立成非线 性方程组，将问题转化成了用matlab求解方程组，在求解过程中将固定在飞行器上的两 个测向阵方向d1,d2定义为单位向量，考虑到测量精度，通过联立九颗卫星参数得出的 18个方程与两个单位向量的性质3个方程共21个方程求解得出飞行器的位置
2、参数p x,y,z 二-5202.27,6604.13,3129.29km ， 距地表高度 h = 2603.54 km ，d, =0707059, 0.70716, -0.00019， d2 =：-0.70715, 0.70706, 0.00087 。对于问题（2）,同样利用问题（1）联立方程组的方法，得出五个不同时刻飞行器 的位置参数，再利用最小二乘法将各时刻飞行器的位置在各个坐标轴上的参数值进行拟合 ， 得至U 拟合 方程； x = -4.19 106 - 3.62 103t ， y =4.60 106 - 2.77 10、，z=6.07 10 6 624.65 t单位：km。将不同时刻
3、的拟合值与计算所得值之间的空间距离作为原始非负时间序列，建立GM （1,1）模型，对距离进行灰色预测，得到其距离误差的 预测值，最后综合考虑得出，t =70s时飞行器的位置为以-3934.43, 4796.87, 6114.851单位:k m为圆心，以53.75km 为半径的球体内，将距离误差值53.75km作为其预测的可靠度。问题（3）考虑当定位卫星较多时，飞行器的最优定位方式。通过用第1问的数据进行仿真，比较不同卫星组合测得的飞行器位置参数，发现卫星数量越多，空间分布越 均匀，飞行器定位经度越高。而卫星数量的增加会降低定位的效率，综合考虑定位精度 和效率，得到选取5颗在空间均匀分布的卫星是
4、最优的定位方式。最后用最大误差限0.1 对最优卫星组合方式进行检验。将误差看成均匀正态分布，建立非线性最小二乘拟合模型，即可算出相对于误差限为0.1时的角误差E（x, y,z） =3.78。关键词：飞行器；无源定位；最小二乘法；GM 1,1预测1问题重述目标定位技术是导航与制导技术的重要基础。 在现有的导航与制导技术中，卫星定 位技术是精度最高的，也是较为理想的导航与制导技术。对于空中飞行器，在其飞行过程中很容易接收到太空卫星的信号。现在考虑通过测 量飞行器与地球同步卫星的方向角来实现空中飞行器的自定位。在球心坐标系下，空中 飞行器P的空间坐标记为x,y,z，不妨设它同时能接收到N颗同步卫星的
5、信号，其N颗 同步卫星Xi空间坐标分别记为Xi, y , Zi （i =1,2,N）。为了方便检测与同步卫星的方向 角，在空中飞行器上固定安装了两个相互垂直的测向阵列，它们的指向分别为 d! d1x,dy,dz和d2 d2x,d2y,d2z。地球同步卫星与空中飞行器P的位置关系示意图如图1所示，5 L分别表示空中飞行器P的测向阵列方向di,d2与地球同步卫星Xi i =1,2 ,N的夹角。现在请你们建立数学模型研究解决下面的问题:（1）通过测量空中飞行器测向阵列方向d1和d2与多颗地球同步卫星的夹角:i和，建立空中飞行器定位的数学模型； 对于附表1所给出的9颗同步卫星的数据，试确定 空中飞行器
6、P的位置参数。（2）在某些特殊情况下，空中飞行器能直接检测到的同步卫星数量较少，可以利用空中飞行器在匀速飞行过程中多次检测的结果来实现定位。针对这种情况，试建立空中飞行器定位的数学模型；对附表2中给出的3颗同步卫星的检测数据，确定空中飞行器 P在第70秒时的位置参数，并分析其可靠性。（3）当可用同步卫星数量较多时，为了提高定位精度和定位效率，需要对可用的 同步卫星进行一定的优选。试研究具体的优选策略，并通过仿真，分析在检测方向角误 差限为0.1时空中飞行器的定位方法和精度。2问题分析2.1问题（1）的分析该问题要求确定空中飞行器的位置参数。题目中给出了地球同步卫星的参数，包 括其所在的经度和其
7、与固定在飞行器上的垂直测向阵列方向d1x,d2x之间的夹角:，-i，于是，我们可以通过建立球心坐标系，把所要求的位置参数设成未知数，并与已知的数据 相结合，然后利用空间几何关系建立方程组求解：将飞行器上两个测向阵列方向d2x ,d2x设成单位向量，则与所求飞行器位置参数共9个未知数，利用向量的余弦定理，每一个卫星可分别与飞行器的两个垂直测向阵列方向建立两个方程， 利用单位向量本身上数学 定义建立3个方程，则任意3个卫星的定位数据就可以确定的方程组， 即可以求的所设 的未知数，即可得飞行器的位置参数。在题目给出的数据中共有 9组卫星，我们可以建 立21组方程，方程数大于未知数，联立此超定方程，利
8、用 matlab即可求得解值。2.2问题（2）的分析由问题（1），我们可以得知，由三个卫星就可以确定飞行器的位置，但精度存在问 题。问题（2）研究的就是在只有三颗卫星的情况下，通过多次检测结果对匀速飞行的 飞行器进行定位。题目中给了我们3颗卫星在5个时刻的飞星定位数据，通过这5组数据 我们可以算出飞行器在5个不同时刻的位置（存在一定的位置误差）。利用这5组不同时 刻的位置信息，再结合飞行器匀速飞行的条件，进行数据拟合，可以得到一条飞行器的 运动轨迹（此轨迹在短时间内有效），则可得飞行器在未来短时间内位置参数随时间的 变化关系，则可得卫星在t =70s时的位置参数。再利用此运动轨迹对前 5组数据
9、进行检 验，可以算得一组残差值，将此组值代入灰色预测模型，得到其残差预测值与拟合值相 加即为所要预测飞行器更为精确的位置参数。通过计算前五个残差值的的方差与飞行器 在相应阶段内飞行距离的比值，看其百分比，即可算得飞行器位置参数的可靠性。2.3问题（3）的分析问题（3）考虑的是当可供选择的卫星较多时，怎样优选卫星，才能提高确定定位 的精度和效率。对问题（1）数据进行分析，9个卫星进行定位时提供的位置参数较多， 综合求得的位置参数降低了个别偏差较大的结果的影响，所以我们认为如果不考虑定位效率的话，在一定范围内，卫星的数量较多为好，而且这样更能保持定位的稳定性。所 以在此题中，九颗卫星定位的飞行器位
10、置参数精度最高，可认为题目（1）求出的飞行器位置即为实际位置。但当卫星数量较多时，随着卫星数量的增加可能精度提高并不明 显，但定位效率会降低，所以在定位精度变化不大的情况下，应尽量选取较少的卫星。 于是选取不同卫星数的组合求得的飞行器位置参数，与实际值比较，可筛选出最优的定位卫星数量，然后分析各最优卫星数量组合的空间分布，比较定位误差的大小，可得出卫星空间分布对定位高度近代的影响。在考虑方向角误差限为0.1时，对测量角误差求和，算出最小的角误差，即为精度。3模型假设（1）假设地球为匀质标准球体，其质心与球心重合；（2）卫星环绕运动以地心为中心的圆；（3）飞行器在很短的时间内飞行曲面为平面；（4
11、）固定在飞行器上的两个垂直测向阵列为单位向量；（5）检测方向角误差正态分布；（6）题目给出的数据真实可靠（7）飞行器接收到的信号均为卫星直接发射，不考虑经地面或其它天体折射的电 磁波信号。4符号说明i表示第i i =1,2,3,4,56 7,8,9颗地球同步卫星；p代表飞行器P x, y,z表示飞行器的空间坐标；X表示地球同步卫星；Xi x,y,Zi表示第i颗地球同步卫星的空间坐标；d! ddydz表示第一个测向阵列的单位向量；d2 d2x,d2y,d2z表示第二个测向阵列的单位向量；:i表示空中飞行器的测向阵列d!与地球同步卫星Xi的夹角;表示空中飞行器的测向阵列d2与地球同步卫星Xi的夹角
12、; 表示第i颗卫星Xi的经度（正值为东经，负值为西经）；I表示卫星X到球心的距离；h为飞行器到球心的距离；5模型的建立与求解5.1模型1的建立与求解5.1.1球坐标系的建立和飞行器定位以地心为坐标原点，地球地心指向北极方向的轴线为z轴，地心指向本初子午线与 赤道交点方向的轴线X轴，垂直于Z轴和X轴的轴线为丫轴，建立如图1球心直角坐标 轴系2:P （飞行器）山Xi (卫星i)图1直角空间坐标轴系不妨假设d!指向飞行器飞行的前行方向，d2垂直于d!指向飞行器左方（从飞行器后方观察）。卫星到坐标原点的距离为I，卫星Xi的坐标可表示为X i （I cos K，l si n K，0）, 通过已知条件“取
13、地球半径为6367 Km，同步卫星高度为35800 Km ”，可以得知：I =6367 Km 35800 Km =42167 Km。设飞行器P的坐标为P（x,y,z），则由卫星指向飞行器的向量可表示为X i p =任-Icostyj - l sin飞，召）利用余弦定理及向量运算关系可联立得方程组（1）:X ZI(i =1,2,3,9);Xi p d1 cos( X i p, dj = cos、n1咲间cos( X i p, d2)二 cosXi p d2PXi d2(i =1,2,3,9);2 2 2d1xd2yd3z =1;d 2d 2d 2 =12x3y3zd1x*d2x d1y*d2y
14、d1z* d20将表1中9组卫星测得的数据代入方程组，利用 matlab求解得结果如下:N x, y, z =：-5202.27,6604.13,3129.29 单位：kmd1x= 0.7070590.70716-0.00019d2x= -0.707150.707062-0.00087根据题中dix，d2x方向的假设可知，飞行器此刻的航向即为dix的指向，此时飞行器距地表高度为:2603.54 km。5.2模型2的建立与求解5.2.1利用最小二乘法对数据进行拟合最小二乘法3进行数据拟合的基本思路：给定平面上的（X1，% ，（Xn，yn）,求f（X ）， 使在X1, X2，Xn处的函数值与实验数
15、据丫1,讨2，y的偏差的平方和为最小.禾I用同一时刻检测到地球同步卫星的相关数据，调用问题（1）所得函数方程组1 i =1,2,3，可以求出给出的t = 0，t =10, t = 20, t = 30, t = 40五个时刻飞行器的位置参 数如表1:单位：km表1:不同时刻飞行器的位置参数时刻X轴丫轴Z轴t=0-4185.01844606.52806070.9011t=10-4154.0318P 4621.58006052.6508t=20-4110.73954667.00396102.6247t=30-4088.1703:4687.81856126.4660t=40-4036.97484711.748960652.2607通过以上信息，以时间t为横坐标，分别以X轴的数据，丫轴的数据，Z轴的数据 为纵坐标，建立平面坐标轴，利用matlab得出五个不同时刻拟合值与实测值之间的图形 关系，见图2、图3、图4:#X的坐标值拟合方程：x - _4.19 10 3 3.62t单位：km-4.02x 10飞行器坐标拟合
