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1、数列通项公式方法归纳已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题 型如果单纯的看某一个具体的题目， 它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技 巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性， 存在着解决问题的通法，本文就 高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教 学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、已知 Sn (即印 a? |l( a f (n)求 a.，用作差法：a Q,( n=1) an = Sn -Sn,(n_2)。1. 数列an的前n项和Sn=3n -n?，则an =2. 数列an的前n项和Sn= n? + n +1，则a. =3、.数
2、列taj的前n项和Sn= 2n -1，则 =4、 正项数列的前n项和为Sn，且2. 二an 1，求数列的通项公式. 二、公式法1、 已知等差数列an中，a3a7 - -16, a4 a6 =0,数列an的的通项公式。2、已知等差数列an中，S3=21，S6=24，求数列an的通项公式。3、等差数列a. 1是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列， Ss =a； 求数列a油勺通项公式.、累加法具体做法是将通项变形为an 1 -an = f (n)，从而就有a2 - a1 = f (1), a3 - a f (2),丨 1(, a an j - f (n -1).将上述n -1个式
3、子累加，变成an -a! = f (1) f (2) - |l| - f (n-1)，进而求解。例：在数列an中,a =2,an t =an * 2n -1,求an.练习：11、已知an满足4二1, nn(n 1)求an的通项公式3、 已知数列an满足an 2(n 1)5n a“,印=3，求数列an的通项公式。2 24、已知正项数列an的前n项和为Sn , a-，且满足2Sn，i - 2S3an，i3(n N*)，求数列an通项公式an四、累积法(累乘法)具体做法是将通项变形为=f (n)，从而就有更卫二 f(2),| 川 |,电=f( n-1)4a2an A将上述n -1个式子累乘，变成 勺
4、二f (1) f (2)汕f (n -1)，进而求解。ai例：已知数列an中a1 J,an二壬3 n(n_2)，求数列%的通项公式。3 2n +1练习：1、在数列an中，an 0,印=2,nan2 =(n+1总卅2+aan,求 a. 2、已知数列an满足an1 =2(n 1)5n a., a 3，求数列an的通项公式3、已知数列On ?满足a2，an an，求an3n +1五、构建新的等差数列，求通项公式例：已知数列C满足印=2舄.1二公匚，求an.an +2练习:1、数列an中,务厂2,冃二2,2求an的通项2、an,a1=1则其通项为3、数列 J 中，3=2, a? =3,且 2an=an
5、j+an4r(n n+,n2 )，求 an.1 a4、已知数列工0, ai = , 3n =n (n N+),求 an2 1+2an5、已知数列aJ的前n项和为S且满足內二耳 2SnSnj =0( n_2)(I)判断，是否为等差数列？并证明你的结论；(II )求Sn和an； an中，an六、anpan q型数列，构建新的等比数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性 质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设an 1P(an m)，展开整理ani二pan Pm-m，比较系数有Pm-m=b，所以口 = ，所以P 1a 是等比数列，公比为P，首项为a 。二是用
6、做差法直接构造，P 1P 1an 1 二 pan q，an 二 pan q，两式相减有 a.彳- a.二 p(an -a.)，所以 a. 1 - a.是公比为p的等比数列。例1:在数列an中，印=1，当n 一 2时，有a.二3如2，求 %的通项公 式。注：根据题设特征恰当地构造辅助数列，利用基本数列可简捷地求出通项公 式例 2:在数列 Q 匚中，a1 = 2， an 1 = 4an -3n 1， n N* .(I)证明数列玄-nl是等比数列；(U)求数列 订鳥的前n项和Sn ；例3:已知数列曲满足81 - 1,a -3,a. 2 -3a. 1 -2an(n N ).(I )证明：数列fan1-a,是等比数列；(II )求数列Sn?的通项公式;练习：1、已知数列an满足时 皿 3 5n, a 6，求数列 曲的通项公式2、已知数列gj满足a1,an3an -2n1,求务.3、已知 匕满足 ai = 2, an i = 2an 2n 1，求 an。
