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1、第九章 向量代数与空间解析几何一、根本要求1向量代数1了解向量的概念，了解向量间和、差的平行四边形法那么。 2了解空间直角坐标系，知道空间向量的坐标表示法。3了解向量的模、单位向量、平行向量及向量的方向余弦的概念，并掌握用坐标表达式进行计算的方法。4了解向量间的线性运算，理解向量的数量积与向量积及了解混合积的概念与性质；掌握数量积与向量积的向量运算与坐标运算。5掌握两向量垂直、平行、共面的条件。2空间解析几何1了解曲面方程的概念，知道常用的二次曲面的图形及其方程。2掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程及其求法，会求母线平行于坐标轴的柱面的方程。3了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线在
2、坐标平面上的投影曲线方程。4掌握平面的点法式、一般式、截距式方程及其求法，掌握空间直线的一般式、对称式、参数式方程及其求法，会用平面与直线的相互关系解决有关问题。二、主要内容向量运算坐标运算空间两点向量 模单位向量 ：，方向余弦：两向量夹角 空间两点间的距离公式定比分点公式 向量的线性运算法那么： 数量积、向量积、混合积定义性质运算规律坐标运算交换律分配律数乘的结合律数量积向量积(1)(2) 不满足交换律，满足：混合积轮换性向量垂直、平行、共面的条件曲面的一般方程 方程几何特性备注柱面 的曲面由坐标对称性可知其余柱面方程旋转曲面由坐标对称性可知其余旋转曲面方程旋转曲面名称曲面方程圆锥面旋转抛物
3、面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面二次曲面名称曲面方程球面椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面圆柱面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面椭圆锥面空间曲线的一般方程： ， 参数方程：空间曲线在坐标面上的投影空间曲线方程投影坐标面投影柱面方程投影曲线方程xoy yoz xoz平面方程： 方程的形式备 注点法式方程一般式方程截距式方程三点式方程平面束方程空间直线方程：方程的形式备注点向式方程(标准式方程、对称式方程)一般式方程参数式方程两点式方程平面及直线间的相互关系两平面： 两直线： 平面与直线： 平面与平面不重合重合不成立直线与直线(垂直相交)另式见下平面与直线两平面夹角两直线夹角平面与直线的夹角点到
4、平面的距离点到直线的距离三、重点与难点重点：1有关向量的数量积与向量积的计算2平面与空间直线的垂直、平行及相交关系3平面与空间直线方程的求法4旋转曲面方程的写法，二次曲面的名称与图形5空间曲线在坐标面上的投影及其方程难点：1 向量积的理解2 有关平面与平面、直线与直线、平面与直线的距离及相交等综合问题的分析四、例题解析1、 关于向量的运算在向量的运算中，要注意区别哪些量是数量，哪些量是向量；要记住各种运算的规律、特征和公式；掌握向量平行、垂直和共面的充分必要条件。例1 以下等价式是否成立？说明理由： 解 例2 以下等式是否正确？说明理由： 解 (1) 不正确；因为左式中 是数，是与平行的向量，
5、 同理，是的平行向量，两向量不一定相等。例3 解 这是一道有关向量的模与平行问题的题目，应把题中条件转化成数学表达式。例4 解 应用向量的方向余弦来解决向量与向量、向量与轴的夹角是常用的方法。例5 解 给出的条件是向量的模与夹角，要求向量的数量积与向量积，就应该从它们的定义与性质出发，并注意这两种运算的区别。例6 解 此题应用数量积的性质 来翻开向量和的模。例7 解 给出的条件是向量的坐标，对有关向量的数量积与向量积，那么应进行它们的坐标运算。例8 解 求对称点的问题，常用到定比分点公式。由题意，与三个坐标轴相等， 例9 证 常用数量积与向量积的运算性质及其联系来解决此类证明题。例10 证 两
6、向量共线，即两向量平行，无向量的坐标表达式时常用两向量成比例的充要条件。例11应用向量证明：假设一个四面体有两对对棱互相垂直，那么第三对棱也必垂直。分析 用向量证明立体几何中的命题时，一般须作出图形但不一定作出坐标系，并把线段看成向量，运用向量的平行四边形法那么或三角形法那么及向量间的A数量积或向量积等进行证明。证 如图，由题意，设两对对棱所作向量DCB例12 分析 不等式左式是两向量数量积的模，右式是向量的模的乘积形式，故作两向量的乘积。2、关于平面与直线的讨论平面、直线、点之间的关系是空间解析几何局部的重点内容，务必做到熟记直线、平面的各类方程及表达各种位置关系的有关公式，会运用向量的运算
7、性质处理点、直线、平面的各种关系是解题的一个重要手段。平面、直线的各类方程都有其相应的作用，要熟练掌握这些方程的用法。解题时，首先可以借助草图找出主要的几何关系，建立有关的关系式，接着抓住要点进行求解。特别要注意的是题中给出的方程形式，方程的形式不同，给出的条件就不同，解题方法也就有所不同。另外常有一题多解的题也是这局部内容的特点，可从多种思路审题，并从中掌握最简单的解法。1用到平面一般式方程的题型 例1 解 平面过 ox 轴，必过原点，所以在平面的一般式方程中就有例2 所在的平面且与它的距离等于2的平面方程。解 以下用两种方法求解。2用到平面截距式方程的题型例3 解 由题意，取所求平面的法向
8、量 化成截距式方程3用到平面点法式方程的题型例4 解 用两种方法求解例5 解法一 只需求出平面的法向量，但题中给出的是直线的一般式方程，故先求直线的方向向量。解法二 利用平面的三点式方程 与平面上的点作向量且此向量与交成直线的两平面的法向量共面，4用到平面束方程的题型例6 解 平面过直线一般式方程，那么作平面束方程 例7 并求直线L在平面上的投影直线方程。解 平面过直线一般式方程，那么作平面束方程 5直线的一般式方程化成标准式点法式方程的题型例8 求以下直线的标准式方程： 分析1把直线的一般式方程化成标准式方程的关键是找到直线上的点，并利用向量积求出其方向向量。解1分析2此方程组中缺少 y ，
9、故可通过对其中一个变量的两个等式，把方程化成标准式方程。解26点关于直线或平面的投影、距离和对称点的题型例9 分析 求点在平面上的投影必须通过直线来完成，因为过点的直线与所给平面的交点即是所求点。解 那么所作直线的方向向量可取平面的法向量，故得 直线方程 例10 解 用两种方法求解分析 求点在直线上的投影必须通过平面来完成，因为过点的平面与所给直线的交点即是所求点。解法一 由于所给的直线是两个平面的交线，所以联立三个平面方程所得交点即为投影点。解法二 例11 解 过原点作直线垂直于所给平面，且例12 解法一 过原点作平面垂直于所给直线，且 解法二 例13 解 7关于直线及平面的位置关系例14判
10、断以下各组平面及直线是否垂直、平行或重合： 解8与直线的标准式方程有关的平面或直线方程例15 解法一 平面与直线平行，那么有解法二 试做下题：9与直线的一般式方程有关的平面或直线方程例16 解法一 两平面的交线即为直线解法二 平面过直线一般式，设平面束方程例17 。分析 两个关键点：解法一 解法二8平面及直线的相交问题 例18 解法一 解法二 试求下题：求此直线方程。例19 分析 所求直线。解法一 解法二 例20 。分析 解 可试做此题：9其它例21 解法一 即为所求距离。解法二 例22 求此平面方程。解法一 解法二 例23 相切的球面方程。解 平面过直线一般式方程，例24 的平面方程。解 例25 并求此投影直线 解12、 曲面与空间曲线的常见题型例1 解 例2 例3 解 例4 解 将方程组中配方，得例
