立体几何新题型

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1、立体几何新题型立体几何新题型1 .如图，在四棱锥 P ABCD 中，PC AD CD -AB 2, AB/DC ,2AD CD , PC 平面 ABCD .(1 )求证：BC平面PAC ；(2)若M为线段PA的中点，且过C,D,M三点的平面与线段 PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥 A CMN的高.2 在四棱锥P ABCD中，PAD为正三角形，平面PAD平面CD 2AB 2AD4.(I)求证：平面PCD平面PAD ；(H)求三棱锥P ABC的体积;(川)在棱PC上是否存在点E ,使得BE/平面PAD ?若存在，请确定点E的位置并证明；若不存在，说明理由.3 如图，ABCD是边长

2、为3的正方形，DE平面ABCD , AF 平面 ABCD , DE 3AF 3.(1) 证明：平面ABF/平面DCE ；(2) 在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分 成上下两部分的体积比为3:11 ?若存在，求出点G的位置； 若不存在，请说明理由.MC4 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形， AD/BC， ADC 90，平面 PAD 底面 ABCD， Q 为 AD 的中点 是棱PC上的点， PA PD， BC 2 ad .平面(n）求证：平面 PQB平面PAD ；）若三棱锥A BMQ的体积是四棱锥P ABCD体积的fPM tMC ,试确定t的值.5 已知

3、四棱锥P ABCD中，底面为矩形，PA底面ABCD ,为PC上一点，M为PC的中点.(1) 在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在 位置(不要求给出理由)；(2) 求平面ADM将四棱锥P ABCD分成上下两部分的体积 比.6如图，四棱锥P ABCD的底面为菱形 且/ ABC 120,P从底面 ABCD AB= 2, PAc V3,(1) 求证：平面PBEX平面PAC(2) 求三棱锥P-BDC的体积。(3) 在线段PC上是否存在一点E,使Pd平面EBD成 立.如果存在，求出EC的长；如果不存在，请说明理由。7 在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB 3 , AD 2貶

4、,ABC 45 , P点在底面ABCD内的射影E在线段AB 上，且PE 2 , BE 2EA , M在线段CD上，且CM -CD .3(I)证明：CE平面PAB ；(U)在线段AD上确定一点F,使得平面PMF平面PAB 并求三棱锥P AFM的体积8如图，五面体ABCDE中，四边形ABDE是菱形，ABC是边DBA 60 , CD .3 .长为2的正三角形，B(1) 证明：DC AB ；(2) 若C在平面ABDE内的正投影为H ,求点H到平面BCD的 距离.ABCD为CD9 如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD底面ABCD ,底面 是平行四边形，ABC 45o， AD AP 2， AB DP

5、22， E ；的中点，点F在线段PB上.(I)求证:AD PC ；(H)当三棱锥B EFC的体积等于四棱锥P ABCD体积的三时，求PF的值.PBBC 1，10 如图，在四棱锥 P ABCD 中，O AD , AD / BC , AB AD , AO ABpo 2, pc 3O -AD(1)求证：平面POC 平面PAD ;若CD 2，三棱锥P ABD与C PBD的体积分别为y、V2，求的值.11 .如图,在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形， PA 底面ABCD , PA PB ,E, F分别是PA,PB的中点.(1)在图中画出过点E,F的平面 ，使得 /平面PCD (须说明画法，并给

6、予证明)(2)若过点E,F的平面 /平面PCD且截四棱锥P ABCD所得截面的面积为 铤，求四棱锥2P ABCD的体积EA1B1C1 中，侧面 AACCj 底面 ABC，A AC 60.(1)求三棱柱ABC ARG的体积;使DP/(2)已知点D是平面ABC内一点，且四边形 ABCD为平行四边形，在直线 AA上是否存在点P ,/平面AB ?若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.参考答案1 . （1）详见解析（2）2【解析】试题分析：（1）先分别利用勾股定理和 线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直 的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线 证明线线平行，进而通过四点共面确定点N

7、的位置，再利用等体积法进行求解试题解析：（1 ）连接AC ,在直角梯形ABCD中，AC ,AD2 DC22.2，BC J AB CD 2 AD22近，所以 AC2 BC2 AB2，即 AC BC .又 PC 平面 ABCD，. PC BC，又 AC PC C，故 BC 平 面 PAC.（2 ） N为PB的中点，因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以MN/AB，且 MN AB 2 .2又I AB/CD， MN/CD，所以M,N,C,D四点共面， 所以点N为过C,D,M三点的平面与线段PB的交点 因为BC平面PAC， N为PB的中点，所以N到平面PAC的距离d |bc 2AACM1S,S ACP

8、22 2 AC PC -2，所以 Vn ACM由题意可知，在直角三角形PCA中，PA 、AC2 PC2 厶 3， CM .3，在直角三角形 PCB 中， PB . BC2PC2 2.3， CN .3， 所以Scmn 2设三棱锥A CMN的高为h， VN ACM VACMNh |，解得：h -.2，故三棱锥A CMN的高为2. 证明见解析；（2）兰;（3）存在，证明3见解析.【解析】试题分析：（I ）先证明CD AD，再根据 面面垂直的性质定理可得CD平面PAD，再利用面 面垂直的判定定理可得结论；（U）先根据面面 垂直的性质定理可得PO平面ABCD，再根据棱锥 的体积公式可得结果；（皿）E为P

9、C的中点时， BE/平面PAD，根先证明平面BEF P平面PAD，从而可 得结果.试题解析：（I）因为AB/CD， AB AD，所以CD AD.因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD， 所以CD平面PAD.因为CD 平面PCD,所以平面PCD平面PAD.(H)取AD的中点O,连结PO.因为PAD为正三角形,所以PO AD.因为平面PAD平面ABCD , 平面 PAD 平面 ABCD AD , 所以PO平面ABCD , 所以PO为三棱锥P ABC的高.因为 PAD为正三角形， CD 2AB 2AD 4 , 所以PO .3.所以 Vpabc 3Sabc po 312

10、2勺3.(川)在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时, BE/平面 PAD .分别取CP，CD的中点E,F ,连结BE,BF,EF .所以 EF /PD . 因为 AB/CD , CD 2AB , 所以 AB/FD,AB FD .所以四边形 ABFD 为平行四边形 . 所以 BF PAD .因为 BF EF F,AD PD D ,所以平面BEF P平面PAD. 因为 BE 平面 BEF ， 所以BE P平面PAD .3. ( 1)见解析(2)存在点G且EG 1满足条件.【解析】试题分析：(1)根据DE/AF,AB/CD，结合 面面平行的判定定理可知两个平面平行； ( 2)先 求出整个几何体的体

11、积.假设存在一点G，过G作 MG/BF交EC于M，连接BG,BM，设EG t，求得几何 体 GFBME 的 体 积 ， 将 其 分 割 成 两 个 三 棱 锥 B EFG,B EGM，利用t表示出两个三棱锥的高，再 利用体积建立方程，解方程组求得t的值. 试题解析：解：(1 ) v de 平面 ABCD , AF 平面 ABCD ,DE/AF，二 AF / 平面 DCE ,/ ABCD是正方形，AB/CD ,二 AB/平面 DCE ,/ AB AF A , AB 平面 ABF , AF 平面 ABF，二平 面 ABF/ / 平面 DCE .(2)假设存在一点G，过G作MG/BF交EC于M，连接

12、 BG, BM，VABCDEF VB ADEFVb CDE21设 EG t，贝V VgfbmeVb EFGVb EGM21设M到ED的距离为h，则h3EMt,33 2ht，S EGM tEC 3 1 72 ?42144 13 4t213 |t9，解得t 1，即存在点G且EG 1满34324足条件点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考 查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方 法第一问要证明面面平行，根据面面平行的判 定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另 一个平面的两条相交直线平行即可第二问要对 几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的 体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，

13、求解出G的位置的值 4. (I)见解析；(H) t 1.【解析】试题分析：（I）由平面PAD平面ABCD , 且平面PAD平面ABCD AD , QB AD可证得BQ平面 PAD，进而平面 PQB 平面PAD ；（n）（H）由PA PD , Q为AD的中点，可得PQ AD . 由平面PAD 平面 ABCD， 可得 PQ 平面 ABCD .设 PQ h，梯形 ABCD 面积为 S，则 SmBQ = -S，3VP ABCD 3 Sh，利用 VA BQM Vm abq 即可求得.3试题解析：（I）证明：I AD/BC， BC 2 ad， Q 为 AD 的中点,四边形BCDQ为平行四边形，.I CD/

14、BQ，ADC 90 ， AQB 90 ，即 QB AD .又 T 平面 PAD 平面 ABCD， 且平面 PAD 平面ABCD AD，/. BQ 平面 PAD，BQ 平面 PQB，平面 PQB 平面 PAD（2） PA PD，Q 为 AD 的中点， pq ad，.平面 PAD 平面ABCD，且平面 PAD 平面ABCD AD， PQ 平面ABCD设PQ h，梯形ABCD面积为S，则三角形abq的面积为1sVpABCD1 -Sh3又设M到平面ABC的距离为h，则Va bqm Vm abq 3 Ish,33根据题意-Sh - -Sh , A h -h ,3 36 32 M为PC中点，所以t 1 .5. （ 1） N 为