《2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何95椭圆练习苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何95椭圆练习苏教版（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.5 椭圆考点一椭圆的定义及标准方程1.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆2.已知ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC边上,则ABC的周长是()A.2B.6C.4D.123.椭圆+=1的左焦点为F,直线x=t与椭圆相交于点M,N,当FMN的周长最大时,FMN的面积是()A.B.C.D.4.过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 ()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1
2、5.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2,则椭圆C的方程是_.【解析】1.选A.由折叠过程可知,点M与点F关于直线CD对称,故|PM|=|PF|,所以|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=r,又显然|OM|OF|,由椭圆的定义可知,点P的轨迹为椭圆.2.选C.如图,设椭圆+y2=1的另一个焦点为F2,则F2在BC上,即|BC|=|BF2|+|F2C|,又因为B,C都在椭圆+y2=1上,所以|BA|+|BF2|=|CA|+|CF2|=2a=2,于是,ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF2|+|F2C|+|CA|=4.3.选C
3、.如图,设右焦点为F,连接MF,NF,FMN的周长为|FM|+|FN|+|MN|=4-(|MF|+|NF|-|MN|),所以当|MF|+|NF|-|MN|最小时,周长最大,因为|MF|+|NF|MN|,所以当直线x=t过右焦点时,FMN的周长最大.又c=1,所以把x=1代入椭圆标准方程,得+=1,解得y=,所以此时FMN的面积S=22=.4.选C.(方法一:定义法)椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=+,解得a=2,由c2=a2-b2,可得b2=4,所以所求椭圆的标准方程为+=1.(方法二:待定系数法)设所求椭圆方程为+=1(kb0).由题意得解得所以所
4、求椭圆的标准方程为+=1.5.设椭圆C的方程为+=1(ab0).由题意知解得a2=16,b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=11.椭圆定义的应用(1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点的轨迹是否为椭圆;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积,弦长、最值和离心率等.(2)椭圆的定义式必须满足2a|F1F2|.2.焦点三角形的结论椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2构成的PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设F1PF2=.(1)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos .(2)焦点三角形的周长为2(a+c).(3)=|PF1|PF2|sin =
5、b2 tan=c|y0|,当|y0|=b,即P为短轴端点时,取得最大值,为bc.3.求椭圆的标准方程的方法(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a|F1F2|;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式.4.利用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤考点二弦及弦中点问题【典例】1.已知椭圆+y2=1,过点P且被P点平分的弦所在直线的方程为_.2.焦点是F(0,5),并截直线y=2x-1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为_.【解题导思】序号联想解题1一看到弦的中点(即中点弦)问题,
6、即联想到点差法2当题目中出现弦的中点并出现中点的横坐标(或纵坐标)时,立即想到点差法(也可考虑联立方程)【解析】1.设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为(x0,y0),则有两式作差得+(y2-y1)(y2+y1)=0,因为x2+x1=2x0,y2+y1=2y0,=kAB,代入后求得kAB=-=-,所以弦所在直线的方程为y-=-,即x+3y-2=0.答案:x+3y-2=02.设所求的椭圆方程为+=1(ab0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2).由题意,可得弦AB的中点坐标为,且=,=-.将A,B两点坐标代入椭圆方程中,得两式相减并化简,得=-=-2=
7、3,所以a2=3b2,又c2=a2-b2=50,所以a2=75,b2=25,故所求椭圆的标准方程为+=1.答案:+=11.椭圆中弦及弦中点问题的类型及解决策略常见类型解决策略过定点,定点为弦中点;平行弦中点的轨迹;过定点的弦的中点轨迹根与系数的关系:直线与椭圆方程联立,消元,利用根与系数的关系表示中点坐标点差法:利用弦两端点适合椭圆方程,作差构造中点与斜率的关系2.椭圆中弦及弦中点问题的注意事项(1)合理消元,消元时可以选择消去y,也可以消去x.(2)利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来.(3)涉及弦中点的问题常用“点差法”解决.1.已知直线l:y=k(x-1)与椭圆C:+y2=
8、1交于不同的两点A,B,AB中点横坐标为,则k=_.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,因为直线l过椭圆内的定点(1,0),所以0,x1+x2=,所以=,整理得k2=,所以k=.答案:2.已知直线y=x+m被椭圆2x2+y2=2截得的线段的中点的横坐标为,则中点的纵坐标为_.【解析】设线段的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),则x0=,y0=+m,x1+x2=2x0=,y1+y2=2y0=+2m,则有两式作差得2(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,即k=-=-=1,解得m
9、=-,所以y0=+=-.答案:-考点三椭圆的简单几何性质命题精解读考什么:(1)考查椭圆的顶点、离心率及直线与椭圆中的最值范围问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合等思想方法.怎么考:结合椭圆定义及三角形性质(例如中位线)等考查离心率;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题.新趋势:椭圆离心率的求解仍是考查的重点.学霸好方法1.离心率的求解借助条件建立a,b,c关系或利用特殊值法求解.2. 与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.求椭圆的离心率【典例】(2020泉州模拟)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中
10、点在y轴上,PF1F2=30,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为PF1F2的中位线,所以OMPF2,所以PF2F1=MOF1=90,因为PF1F2=30,所以|PF1|=2|PF2|,由勾股定理得|F1F2|=,由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|,即a=,2c=|F1F2|=|PF2|,即c=,则e=.如何求椭圆离心率?提示:解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),转化为e的关系式.最值、取值范围问题【典例】(2019重庆模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的左顶点
11、为M(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,当取得最大值时,求MAB的面积.【解析】(1)由题意可得:a=2,=,得c=,则b2=a2-c2=2.所以椭圆C:+=1.(2)当直线l与x轴重合时,不妨取A(-2,0),B(2,0),此时=0;当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(t2+2)y2+2ty-3=0,显然0,y1+y2=,y1y2=.所以=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9=(t2+
12、1)+3t+9=+9=+9=.当t=0时,取最大值.此时直线l方程为x=1,不妨取A,B,所以|AB|=.又|MN|=3,所以MAB的面积S=3=.如何求解范围、最值问题?提示:(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到一个图形.(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式,如-axa,-byb,0eb0)的右焦点,过F且垂直于x轴的弦长为6,若A(-2,),点M为椭圆上任一点,则|MF|+|MA|的最大值为_.【解析】设椭圆的左焦点为F,由椭圆的右焦点为F(2,0),得c=2,又过F且垂直于x轴的弦长为6,即=6,则=3,解得a=4,所以|MF|+|M
13、A|=8-|MF|+|MA|=8+|MA|-|MF|,当M,A,F三点共线时,|MA|-|MF|取得最大值,(|MA|-|MF|)max=|AF|=,所以|MF|+|MA|的最大值为8+.答案:8+已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60PF1F2120,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.由题意可得|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|PF1|cosPF1F2=4c2+4c2-22c2ccosPF1F2,即|PF2|=2c,所以a=c+c,又60PF1F2120,所以-cosPF1F2,所以2ca(+1)c,则,即e.
