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1、 第十章圆锥曲线与方程第1讲椭圆及其性质考纲展示命题探究1椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合语言：PM|MF1|MF2|2a，且2a|F1F2|，|F1F2|2c，其中ac0，且a，c为常数2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形如图所示，设F1PF2.(1)当P为短轴端点时，最大(2)SPF1F2|PF1|PF2|sinb2b2tanc|y0|，当|y0|b，即P为短轴端点时，SPF1F2取最大值，为bc.(3)
2、焦点三角形的周长为2(ac)3椭圆的标准方程椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的其形式有两种：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为1(ab0)(2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为1(ab0)4特殊的椭圆系方程(1)与椭圆1共焦点的椭圆可设为1(km2，kn2)(2)与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆可设为k1(k10，焦点在x轴上)或k2(k20，焦点在y轴上)注意点对椭圆定义的理解当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(3)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(4)1(
3、ab0)与1(ab0)的焦距相同()答案(1)(2)(3)(4)2已知方程1表示椭圆，则m的取值范围为()A(3,5) B(3,1)C(1,5) D(3,1)(1,5)答案D解析方程表示椭圆的条件为解得m(3,1)(1,5)故选D.3若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是()A. B.C. D.答案B解析由题意知2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)考法综述高考对椭圆的标准方程考查形式有两种：一种是求椭圆的方程；一种是通过方程研究椭圆的性质命题法椭圆的定义和标准方程典例(1)已知椭圆E
4、：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是_解析(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式作差并化简变形得，而，x1x22，y1y22，所以a22b2，又a2b2c29，于是a218，b29.故选D.(2)如图所示，设椭圆右焦点为F，直线xm与x轴相交于点C.由椭圆的定义，得|AF|AF|BF|BF|2a4.而|AB|AC|BC|AF|BF|，所以当且仅当AB过点F时，ABF的周长最大此时，
5、由c1，得A，B，即|AB|3.所以SABF|AB|FF|3.答案(1)D(2)3【解题法】1.椭圆定义的应用的类型及方法(1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆(2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值利用定义和余弦定理可求得|PF1|PF2|，再结合|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积2椭圆方程的求法(1)定义法根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程其中常用的关系有：b2a2c2.椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a.椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.(2)待定
6、系数法一般步骤判断：根据已知条件确定椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能设：根据中判断设出所需的未知数或者标准方程列：根据题意列关于a，b，c的方程或者方程组解：求解得到方程1.已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1答案A解析1(ab0)的离心率为，.又过F2的直线l交椭圆于A，B两点，AF1B的周长为4，4a4，a.b，椭圆方程为1，选A.2设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线
7、FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解(1)由已知有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有222，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由|FM|，解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(
8、x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26.又由已知，得t ，解得x1或1x0.设直线OP的斜率为m，则m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理可得m2.当x时，有yt(x1)0，于是m，得m.当x(1,0)时，有yt(x1)0，因此mb0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.()求的值；()求ABQ面积的最大值解(1)由题意知2a4，则a2.又，a2c2b2，可得b1
9、，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.()设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2.()设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160.由0，可得m2416k2.则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2 .设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0b0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F
10、的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程解(1)由题意，得且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时，AB，又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1,2，C的坐标为，且AB.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而k0，故直线PC的方程为y，则P点的坐标为，从而PC.因为PC2AB，所以，解得k1.此时直线AB方程为yx1或yx1
11、.1椭圆的几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c22点P(x0，y0)和椭圆1的关系(1)P(x0，y0)在椭圆内1.注意点椭圆上的点到焦点的距离的范围F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则ac|PF1|ac，ac|PF2|ac.1思维辨析(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()
