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1、操作与计数技巧第九讲教学目标操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性，非常受出题和供题者青睐，如今各类数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化，因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式，本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例，引导学生发现关键并解决问题。1. 常见操作类问题2. 计数技巧与操作经典精讲常见操作类问题【例1】 （年小学生数学报读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折，再左右对折（如右图），然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。问能把餐巾纸：剪成块吗？ 剪成块吗？剪成块吗？ 剪成块吗？如果你认为能剪
2、成，请在下面图中各画出一种你的剪法；如果你认为不能，那么只需回答“不行”即可。【分析】剪开成两块，如下图：剪开成块，如下图：剪开成块，如下图：剪开成块，如下图：【巩固】（年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭次(图中的虚线是三边中点的连线)，然后沿两边中点的连线剪去一角。将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是( )【分析】折迭次，纸片的厚度为，所以剪去的面积即应等于倍小三角形的面积，所以答案是。【例2】 、四个盒子中依次放有，个球。第个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中合取一个球放入这个盒子；如此进行下去，。求当位小
3、朋友放完后，盒子中放有球多少个？【分析】盒子 初始状态 6 4 5 3 第1人放过后 5 3 4 6 第2人放过后 4 6 3 5 第3人放过后 3 5 6 4 第4人放过后 6 4 5 3 第5人放过后 5 3 4 6 由此可知：每经过人，四个盒子中球的情况重复出现一次，因为，所以第次后的情况与第次后的情况相同，即盒子中有球个。【例3】 （年十一届“华罗庚金杯”数学邀请赛）有个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的个棋子拿掉。如果第一幅图的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现个棋子的情况，
4、圆圈上黑子最多能有_个。【分析】首先圆圈上是不可能有个黑子的，因为如果最后一步操作能使圆圈上的棋子都变成黑子，那么该操作之前，圆圈上的棋子颜色情况是黑白相邻，但圆圈上一共有奇数个棋子，无法达成黑白相邻的情况，所以黑子最多有个。实际操作得到：【拓展】经过次操作后，圆圈上的棋子颜色情况是怎样的？【分析】如图进行操作，当第此操作时，圆圈上的棋子颜色情况与第一次操作后的相同。所以第次操作时圆圈上的棋子颜色与第次操作后的圆圈情况相同。【例4】 位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数第一位同学报，跳过一人第三位同学报，跳过两人第六位同学报，这样下去，报到为止报的同学第一次报的是_。【分析】将这些学生按报数
5、方向依次编号；1、2、3、49、50、512008，每一个人的编号不唯一，例如编号为2001、1951101、51的和编号为1的为同一个人，这样第次报数的人的编号为,报的同学的编号为，他的最小编号为，我们知道，所以报的同学第一次报。【例5】 （年“数学解题能力展示”读者评选活动）在纸上写着一列自然数l，2，98，99。一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面。例如第一次操作后得到4，5，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，98，99，6，15。这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，最初的个数连同后面写下的数。纸上出现的所有数的总和是 。【分析】每一次操
6、作都少了个数，所以只剩下一个数的话，要经过步操作，即后面要写个数，注意到每一次操作后数和不变。前步操作将个数个个加和放在后边，和等于，接着步操作将写的个数个个加和在后边,和等于，这11个数分别是，。相邻两个相差，之后还有个数，第一个数是。最后一个数，而之间三个数的和等于最后一个数即，所以这些数的总和等于。【前铺】将前个正整数顺次写下得到多位数，从首位起将这些数位从1开始编号，然后划去编号是奇数的数位上的数字，这样便形成一个位数较少的多位数，重复上述这种划去数字操作，直至得到一个三位数，则这个三位是_。【分析】第一次操作后，剩下的全都是偶数位的数字第二次操作后，剩下的全是的倍数位上的数字；直到第
7、六次操作后，剩下的全是的倍数位上的数字，原多位数一共有位，所以此时剩下的是第位、位和位上的数字。,，所以第位上的是“”的“”；,，所以第位上的是“”的“”，所以剩下的三位数是。【例6】 有一叠张卡片，从上到下依次编号为，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片拿掉，把下一张卡片放在这一叠卡片的最下面；再把最上面的依次重复这样做，直到手中剩下一张卡片。那么剩下的这张卡片是原来张卡片的第几张？【分析】张。当有（张）卡片时，第一轮过后剩下的是的倍数号卡片，第二轮过后剩下的是的倍数号卡片第轮过后，剩下的是的倍数号卡片，即就剩下张卡片，是第号卡片。现在有张卡片，如果拿掉（张）卡片，剩
8、下张卡片，那么就变为上述的情况了。拿掉的第张卡片是编号为（号）的卡片，此时剩下张卡片，下一个要拿掉的是第号卡片，第号是最后一张。所以，剩下的这张卡片是原来的第张。【点评】关键是从模型中找到规律，这种规律的前提是个数，这就要考量怎么转换条件的问题。【拓展】（奥数网小学员论文）猫捉耗子是一个有名的游戏，一只猫让个老鼠围成一圈报数，每次吃掉报单数的老鼠，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？数学中称这类问题为猫捉耗子问题。对这类问题通常的做法是从特殊情况出发，逐步发现规律，然后给出求解公式。老师在课堂上介绍了公式以及推导过程，但我认为推导过程较为复杂，不好理解。根据反复试验和观察，本文给出了
9、一种容易理解的求解这类问题的方法。 方法和例子 这里列举这类问题的两种情形。对于每种情形都首先考虑特殊情况，然后从中发现规律。这两种情形都是基于如下前提：从1到编号的个老鼠顺时针围成一圈，从1开始报数。并规定游戏一开始的第一个生存者是1号老鼠。设老鼠的总个数为，最后幸存的老鼠编号为。 情形1： 1号老鼠生存下来，2号老鼠被猫吃掉；3号老鼠生存下来，4号老鼠被猫吃掉.就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，那么最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？ 先考虑简单的情况。当有两只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号，1号为最后的幸存者；当有三只老鼠围成一圈时，猫先吃掉了2号，然后是1号，最后的幸存者是3号.
10、，依次类推，可发现如下规律： N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 . X 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1 3 5 7 9 . 对于这种情况，每次猫都是从两只老鼠中吃掉一只老鼠，可认为2只为一个周期，用m2表示；用n表示每个周期内吃掉的老鼠数目，这里是n=1。情形2： 1号老鼠生存下来，2号、3号老鼠被猫吃掉；4号老鼠生存下来，5号、6号老鼠被猫吃掉.就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另两只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？ 先考虑简单的情况。当有三只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号和3
11、号，1号为最后的幸存者；当五只老鼠围成一圈时，猫先吃掉了2号和3号，然后是5号和1号，最后的幸存者是4号.，依次类推，可发现如下规律： N 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 . 81 83 . X 1 4 7 1 4 7 10 13 16 19 22 25 1 4 7 10 . 1 4 . 对于这种情况，每次猫都是从三只老鼠中吃掉两只，可认为3只为一个周期，即m3；每3只中吃掉两只，因此，。结论 通过对上述两种情形的运算结果的观察，发现N的所有可能的取值按照一定的顺序排列后，构成了一个等差数列。该数列的首项，公差（和都是正整数）。 而与对应
12、的的取值则构成了若干个等差数列，。这些等差数列的公差都为，首项都为。还发现，构成的这些等差数列有这样一个规律：每逢的值为时（和都是正整数），对应的取值就是1。也就是说，当的取值范围从到 之间时，对应的的取值就构成了一个，的等差数列，项数就是从到之间数的个数（包括和这两个数）。 那么现在来看看一般情形：如果猫要从个老鼠中吃掉个老鼠，那么最后幸存的老鼠是几号呢？由上面的结论，可以得出这样的求解步骤： 1、 首先找到小于的一个最大的数（是正整数，并假设）； 2、 这样就构成一个首项，末项，公差的等差数列，利用公式求出项数; （即， ） 3、 因为的每个取值也构成了一个与对应的等差数列，其中，公差为，
13、首项为1，项数为。利用等差数列求末项公式，求出末项； （即，） 4、 就是与对应的的值，也就是最后唯一幸存老鼠的编号。 计数技巧与操作【例7】 （年“数学解题能力展示”读者评选活动）国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于位置的“马”只能走到标有的格中，类似于中国象棋中的“马走日”。如果“马”在的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有的位置），要走到第八行第五列（图2中标有的位置），最短路线有 条。 【分析】通过标数法可以得到最短的路线有种。【例8】 方格纸上有一只小虫，从直线上的一点出发，沿方格纸上的横线或竖线爬行。方格纸上每小段的长为厘米小虫爬过若干小段后仍然在直线上，但不一定回到点如果小虫一共爬过厘米，那么小虫的爬行路线有_种；如果小虫一共爬过厘米，那么小虫爬行的路线有_种【分析】为了方便，下面叙述省去“上、下、左、右”个字前面的“向” 小虫爬过厘米，可有以下种路线，分别是： 左，右；右，左；上，下；下，上； 左，左；右，右 (以上前种路线均回到点) 小虫爬过厘米，可有种路线，分别是： 上，左，下；上，右，下； 下，左，上；下，右，上； 上，下，左；上，下，右； 下，上，左；下，上，右。 (以上种都是先“上”或先
