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1、OABC( 1)m n A BA1、A21As 1 ；1、行列式2n行列式共有 n2 个元素，展开后有 n!项 ，可分解为 2n 行列式； 代数余子式的性质：、 Aij 和 aij 的大小无关； 、某行（列） 的元素乘以其它行 （列） 元素的代数余子式为 0； 、某行（列）的元素乘以该行（列） 元素的代数余子式为 A ； 代数余子式和余子式的关系： M ij （ 1）i j AijAij （ 1）i j M ij设 n 行列式 D ：将 D 上、下翻转或左右翻转， 所得行列n （ n 1） 式为 D1，则 D1 （ 1） 2 D ； 将 D 顺时针或逆时针旋转 90 ，所得行n （n 1）列式
2、为 D2，则 D2 （ 1） 2 D ； 将 D 主对角线翻转后（转置） ，所得行 列式为 D3 ，则 D3 D ； 将 D 主副角线翻转后，所得行列式为 D4，则 D4 D ； 行列式的重要公式： 、主对角行列式： 主对角元素的乘积； 、 副对角行列式： 副对角元素的乘积 n（ n 1）（ 1） 2 ； 、上、下三角行列式（ ）： 主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积n( n 1)(1)2；、拉普拉斯展开式ACO BA OCBABCA BO、 范德蒙行列式： 大指标减小指标的 连乘积；、特征值；对 于 n 阶 行 列 式 A ， 恒 有 ：nE A n （ 1）k Sk n k S
3、 k 1，其中 Sk为 k 阶主子式；证明 A 0 的方法：、 A A ； 、反证法； 、构造齐次方程组 Ax 0 ，证明其有非零解； 、利用秩，证明 r（A） n ； 、证明 0 是其特征值；2、矩阵1. A是 n阶可逆矩阵：A 0 （是非奇异矩阵） ；r（A） n （是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 Ax 0 有非零解；b Rn ， Ax b 总有唯一解；A与 E 等价；A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；A 的特征值全不为 0；AT A 是正定矩阵；A的行（列）向量组是 Rn 的一组基；A是 Rn 中某两组基的过渡矩阵； 对于 n阶矩阵 A： AA A A A E 无 条
4、件恒 成立；(A 1)* (A*) 1(A 1)T (AT) 1(AB)T BT AT(AB)* B* A*矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭 头；行列式是数值，可求代数和； 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A 、 B 可逆：A2As ，则：、 A A1 A2 As ；A11A OA 1 O1、 O BO B ；(主对角分块)O A 1 O B 1 、 B O A O ；(副对角 分块)A C A 1 A 1CB 1 、 O B O B 1 ；(拉 普拉斯)A O 1 A 1 O 、 C BB 1CA1 B 1 ；(拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个 m n 矩阵 A ，总可经过
5、初等 变换化为标准形， 其标准形是唯一F EOr OO 确定的： O O m n ；等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一 个集合， 称为一个等价类； 标准形为其 形状最简单的矩阵； 对 于 同 型 矩 阵 A 、 B ， 若r( A) r ( B)A； (A* )T (AT )* 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每（A行B首） 个1 非B 10A元1 素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元 素必须为 0；初等行变换的应用： (初等列变换类似， 或转置后采用初等行变换)r、若 (A,E) (E,X) ，则 A可且1E(ij(k) 1 E (ij( k)，如：注：1k 1
6、1 k11(k 0)C m n( n11；矩阵秩的基本性质：1m(a b) 展开后有 n 1 项；nm逆，且 X组合的性质、0 r(Am n) min( m ,n) ；m n mCnmCnn mm m m 1 Cn 1CnCn、对矩阵 (A,B) 做初等行变化，当 A、r(AT) r(A) ；1变为 E 时， B就变成 A1B ，即：c(A,B ) (E ,A1 B；)、求解线形方程组：对于 n 个未知数rn个方程 Ax b，如果 (A,b) (E,x) ， 则 A可逆，且 x A 1b ； 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换， 由 其位置决定： 左乘为初等行矩阵、 右乘
7、为初等列矩阵；1若 A B ，则r(A) r(B) ；、利用特征值和相似对角化： 伴随矩阵：、矩阵的r(若PQ可逆A)r ( P )A(r A) Q；可逆rr(A)AQr (A) nr (A) n 1r(A) n 1 ；、 n ，左乘矩阵 A ，i 乘 A 的各行元素；右乘， i 乘 A 的 各列元素；、对调两行或两列，符号 E(i,j) ，且E(i,j) 1 E(i, j)1；倍乘某行或某列，E (i (k ) 1 E(i符号E(i(k)，例如：(k 0)倍加某行或某列，符号E (ij( k)矩阵不影响矩阵的秩mr)a；、A*(AXX ,A*阵的特征值：AX)r、 r( A B) r( A)
8、 r( B)、 A* AA1、n1An1)关于 A 矩阵秩的描述：、 r(AB) min(r(A),r(B) ；()、如果 A是 m n矩阵， B是 n s矩 阵，且 AB 0 ，则：() 、 B 的 列 向量全部是齐次方程组 AX 0 解(转置运算后的结论) ； 、 r( A) r( B) n、若 A、 B均为 n阶方阵，则 r( A B) r( A) r( B) ；n；三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵： 一定可以分解为 列 矩阵(向量) 行矩阵 (向量) 的形式，再采用结合律；1ac b1的矩阵：利用二项、型如0100展开式；二项展开式、r(A) n，A中有 n阶子式不为 0， n
9、1 阶子式全部为 0；(两句话)、 r(A) n ， A中有 n 阶子式全部为 0；、r(A) n，A中有 n阶子式不为 0； 线性方程组： Ax b，其中 A为 m n 矩 阵，则：、 m 与方程的个数相同，即方程组Ax b有 m 个方程；、 n 与方程组得未知数个数相同，方 程组 Ax b为 n元方程； 线性方程组 Ax b 的求解： 、对增广矩阵 B 进行初等行变换 (只 能使用初等行变换 )； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得； 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n元线性方程：n(a b)n Cn0an C1nan 1b1Cnman mbmCnn1a
10、1bn 1 CnnbnCnmambnm0aaam2am1x1 am2x2anm xn bn1Ax1 ba11x1 a12 x2a1n xn b1a21x1 a22 x2a2n xn b2、向量方程， A为 m n 矩阵， m个方程， n 个未知数）x1a1 a2an x2、xn（全部按b1b2列分块，其中bn ）；、 a1x1 a2 x2anxn（线性表出）、有解的充要条件： r（ A） r（ A, ） n（ n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m个 n维列向量所组成的向量组A ： 1, 2, , m 构 成 n m 矩 阵A （ 1, 2, , m ） ；m个 n维行向量所
11、组成的向量组B ：1 , 2 , , m 构 成 m n 矩 阵含有有限个向量的有序向量组与矩阵 一一对应；、向量组的线性相关、无关Ax 0有、无非零解； （齐次线 性方程组）、向量的线性表出Ax b 是否有解； （线性方程 组） 、向量组的相互线性表示AX B 是否有解；（矩阵方程） 矩阵 Am n与 Bl n 行向量组等价的充分 必 要 条 件 是 ： 齐 次 方 程 组 Ax 0 和Bx 0同解； ( P101例 14)r(A A) r(A) ； ( P101例 15) n维向量线性相关的几何意义：、 线性相关 0 ；、 , 线性相关 , 坐标成 比例或共线（平行） ；、 , , 线性相
12、关 , , 共面；线性相关与无关的两套定理：若 1, 2, , s 线 性 相 关 ， 则1, 2, , s, s 1 必线性相关；若 1, 2, , s 线 性 无 关 ， 则1, 2, , s 1 必线性无关；（向量的个数 加加减减，二者为对偶） 若 r 维向量组 A的 每个向量上 添上 n r 个分量，构成 n维向量组 B ： 若 A 线性无关， 则 B 也线性无关； 反之 若 B 线性相关，则 A 也线性相关； （向 量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之， 不确定； 向量组 A（个数为 r ）能由向量组 B（个 数为 s）线性表示，且 A 线性无关，则 r s（二版
13、P74 定理 7）； 向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则 r（A） r（B）；（ P86定理 3） 向量组 A能由向量组 B 线性表示AX B 有解；r（A） r（A,B）（ P85定理 2）向 量 组 A 能 由 向 量 组 B 等 价r（ A） r（ B） r（ A, （B） P85 定理 2 推论）方阵 A 可逆 存在有限个初等矩阵P1,P2, ,Pl ，使 A P1P2 Pl ；r、矩阵行等价： A B PA B （左2乘， P 可逆） Ax 0与 Bx 0 同解c、矩阵列等价： A B AQ B（右 乘， Q 可逆）；、矩阵等价： A B PAQ B（ P、Q 可逆）；对于矩阵 Am n 与 Bl n ：、若 A与 B行等价，则 A与 B的行 秩相等；、若 A与 B 行等价 ，则 Ax 0 与 Bx 0同解，且 A与 B的任何对应的列 向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵 A 的行秩等于列秩；若 Am sBs n C m n ，则：、C 的列向量组能由 A 的列向量组线 性表示， B 为系数矩阵；、C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示， A 为系数矩阵； （转置）齐 次 方 程 组 Bx
