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1、 函数的奇偶性与周期性一、选择题1(2015四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R，且是奇函数的是()Af(x)x2x Bf(x)tan x Cf(x)xsin x Df(x)lg 2(2014新课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数3(2015长春调研)已知函数f(x)，若f(a)，则f(a)()A. B C. D4已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2
2、，则f(7)等于()A2 B2 C98 D985函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1,3上的解集为()A(1,3) B(1,1) C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)6设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是()Aa1或a Ba1 C1a Da二、填空题7(2014湖南高考)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.8(2015广州市调研)已知f(x)是奇函数，g(x)f(x)4，g(1)2，则f(1)的值是_9(2015嘉兴模拟)函数y(x2)|x|在a,2上的最小值为1，则实数a的
3、取值范围为_10(文科)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_10(理科)(2015丽水模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.三、解答题11已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求
4、证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)(00得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)答案：C6解析：函数f(x)为奇函数，则f(1)f(1)由f(1)f(1)1，得f(1)1；函数的最小正周期T3，则f(1)f(2)，由1，解得1a.答案：C二、填空题7解析：由偶函数的定义可得f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，2axln e3x3x，a.答案：8解析：g(x)f(x)4，f(x)g(x)4，又f(x)是奇函数，f(1)f(1)g(1)42.答案：29解析：y(x2)|x|函数的图象如图所示，当x0时，由x22
5、x1，得x1.借助图形可知1a1.答案：1，110解析：由已知条件：f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时0x1，f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图象如图所示：当3x4时，1x40，f(x)f(x4)x3，因此正确不正确答案：10解析：f(x)为奇函数并且f(x4)f(x)f(x4)f(4x)f(x)，即f(4x)f(x)，且f(x8)f(x4)f(x)，即yf(x)的图象关于x2对称，并且是周期为8的周期函数f(x)在0,2上是增函数，f(x)在2,2上是增函数，在2,6上为减函数，据此可画出yf(x)的图象，其图象也关于x6对称，x1x212，x3x
6、44，x1x2x3x48.答案：8三、解答题11解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x1对称，有f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)从而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数1,0)时，x(0,1，f(x)f(x).故x1,0时，f(x).x5，4时，x41,0，f(x)f(x4).从而，x5，4时，函数f(x).12解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)由(1)知f(x)在1,1上是增函数，要使f(x)在1，a2上单调递增结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,3
