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1、2.2 直线、平面平行的判定一、知识点1 空间两直线的位置关系（1）相交有且只有一个公共点；（2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：3.等角定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，则这两个角相等4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法6异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：与是异面直线7异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作
2、直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：8异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直，记作9求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求10两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线 因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义两条异面直线的公垂线
3、有且只有一条11异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离12直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，13线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：14. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：二、基本题型 / 1判断题（对的打“”，错的打“
4、”） （1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（ ）EAFBCMND （2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则ABCD（ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60（ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（ ）2右图是正方体平面展开图，在这个正方体中BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）（A）（B）（C）（D）3已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若ACBD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中
5、点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若ABBCCDDA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇4完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE是异面直线证明：假设_ 共面于g，则点A、E、B、D都在平面_内 QAa，Da，_. QPa，P_.QPb，Bb，Pc，Ec _g，_g，这与_矛盾 BD、AE_5 已知分别是空间四边形四条边的中点，（1）求证四边形是平行四边形（2）若ACBD时，求证：为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求；（4）若AC、BD成30角，AC=6，BD=4，求四边形的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，
6、求AC与BD间的距离.6 空间四边形中，分别是的中点，求异面直线所成的角7. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.翰林汇翰林汇8在长方体中，已知AB=a，BC=b，=c(ab)，求异面直线与AC所成角的余弦值 9如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点（1）求证：平面；（2）若， 求异面直线与所成的角的大小10如图,正方形与不在同一平面内,、分别在、上，且求证：平面参考答案：1.（1） （2） （3） （4） 2. C3. 证明：(1)ABCD是空间四边形,A点不在平面BCD上,而C平面BCD,AC过平面BCD外一点A与平
7、面BCD内一点C,又BD平面BCD,且CBD.AC与BD是异面直线.(2)解如图,E,F分别为AB,BC的中点,EF/AC,且EF=AC.同理HG/AC,且HG=AC.EF平行且相等HG,EFGH是平行四边形.又F,G分别为BC,CD的中点,FG/BD,EFG是异面直线AC与BD所成的角.ACBD,EFG=90o.EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.4. 答案：假设BD、AE共面于g，则点A、E、B、D都在平面 g 内Aa，Da， a g. Pa，P g .Pb，Bb，Pc，Ec. b g，c g，这与a、b、c不共面矛盾BD、AE是异面直线翰林5. 证
8、明（1）：连结，是的边上的中点，同理，同理，所以，四边形是平行四边形证明（2）：由（1）四边形是平行四边形，由ACBD得，为矩形.解（3）：由（1）四边形是平行四边形BD=2，AC=6，由平行四边形的对角线的性质 .解（4）：由（1）四边形是平行四边形BD=4，AC=6，又，AC、BD成30角，EF、EH成30角，四边形的面积 .解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，MBMDNANC，MN是AC与BD的公垂线段且 AC与BD间的距离为. 6. 解：取中点，连结，分别是的中点，且，异面直线所成的角即为所成的角，在中，异面
9、直线所成的角为7. 解(1)如图,连结BD,A1D,ABCD-A1B1C1D1是正方体,DD1平行且相等BB1.DBB1D1为平行四边形,BD/B1D1.A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.A1B=BD=A1D,A1BD是正三角形,A1BD=60o,A1BD是锐角,A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.O为BD中点,OE/BD1.EDA=90o=EDC,ED=ED,AD=DC,EDAEDC,EA=EC.在等腰EAC中,O是AC的中点,EOAC,EOA=90o.又EOA是异面直线AC与BD1
10、所成角,AC与BD1成角90o. 8. 解(1)如图,连结BD,A1D,ABCD-A1B1C1D1是正方体,DD1平行且相等BB1.DBB1D1为平行四边形,BD/B1D1.A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.A1B=BD=A1D,A1BD是正三角形,A1BD=60o,A1BD是锐角,A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.O为BD中点,OE/BD1.EDA=90o=EDC,ED=ED,AD=DC,EDAEDC,EA=EC.在等腰EAC中,O是AC的中点,EOAC,EOA=90o.又EOA是
11、异面直线AC与BD1所成角,AC与BD成角90o. 9. 略证（1）取PD的中点H，连接AH， 为平行四边形解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是异面直线与所成的角，由，得，OM=2，ON=所以，即异面直线与成的角10. 略证：作分别交BC、BE于T、H点从而有MNHT为平行四边形空间两直线有三种位置关系：平行、相交与异面直线和平面有哪几种位置关系？我们来观察：黑板上的一条直线在黑板面内；两墙面的相交线和地面只相交于一点；墙面和天花板的相交线和地面没有公共点，等等如果把这些实物作出抽象，如把“墙面”、“天花板”等想象成
12、“水平的平面”，把“相交线”等想象成“水平的直线”，那么上面这些关系其实就是直线和平面的位置关系，有几种，分别是什么？探索研究：1.直线和平面的位置关系生：直线和平面的位置关系有三种：直线在平面内有无数个公共点2.线面位置关系的画法师：如何画出表示直线和平面的三种位置关系的图形呢？（生讨论并回答）生：直线a在平面内，应把直线a画在表示平面的平行四边形内，直线不要超出表示平面的平行四边形的各条边；直线a与平面相交，交点到水平线这一段是不可见的，注意画成虚线或不画；直线a与平面平行，直线要与表示平面的平行四边形的一组对边平行 练习：P3.直线和平面平行的判定定理师：什么是直线和平面平行？生：如果一
13、条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行直线与平面是否平行，可以直接用定义来检验，但“没有公共点”不好验证，所以我们来寻找比较实用又便于验证的判定定理我们先来观察：门框的对边是平行的，如图ab，当门扇绕着一边a转动时，另一边b始终与门扇不会有公共点，即b平行于门扇由此我们得到：直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（已知条件、结论是什么？生板书）已知：，（图2）求证： 证明：，经过确定一个平面，而，与是两个不同的平面 ，且，下面用反证法证明与没有公共点，假设与有公共点，则，点是的公共点，这与矛盾推理模式：，为便于记忆，我们通常把这个判定定理简单说成“线线平行，则线面平行”例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面已知：空间四边形中，分别是的中点（图3）求证：平面证明：连结分别是的中点又平面，平面平面.演练反馈1课本P19练习1至32课本P19习题9.3 1和22提示：设书脊所在直线为，桌面所在平面为，则或，3提示： 同理4提示：在面内过点作即可5提示：错、错、错、对练习：一、选择题1、若，则下列说法正确的是（ ）A、过在平面内可作无数条直线与平行B、 过在平面内仅可作一条直线与平行C、 过在平面内可作两条直线与平行D、 与的位置有关2、，则与的关系
