《不等式的证明及著名不等式知识梳理及典型练习题(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不等式的证明及著名不等式知识梳理及典型练习题(含答案)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、不等式的证明及著名不等式一、知识梳理1三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么_，当且仅当_时，等号成立即三个正数的算术平均_它们的几何平均(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均_它们的几何平均，即_，当且仅当_时，等号成立2柯西不等式一、二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式的变式:二、 一般形式的柯西不等式三、排序不等式3.贝努利不等式若xR，且x1，x0，n1，nN，则(1x)n1 .4证明不等式的方法(1)比较法来源:z&m作差：知道abab0，ababb，只要证明_即可，这种方法称为求差比较法作商：由ab01且a0，b0，因此
2、当a0，b0时要证明ab，只要证明_即可，这种方法称为求商比较法(2)综合法与分析法；(3)反证法、放缩法；(4)数学归纳法对于一个与自然数相关的命题集合，如果：证明起始命题成立；假设时命题成立，证明也成立；那么可以断定该命题对一切自然数成立二、练习1 (2013陕西)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_答案2解析由柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时“”成立，得(ambn)(bman)()2mn(ab)22.2 2014陕西卷 设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_解析由柯西不等式可知(a2
3、b2)(m2n2)(manb)2，即5(m2n2)25，当且仅当anbm时，等号成立，所以 .3 若a，b，c(0，)，且abc1，则的最大值为_答案解析()2(111)2(121212)(abc)3.当且仅当abc时，等号成立4.(2012福建)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.审题破题(1)从解不等式f(x2)0出发，将解集和1,1对照求m；(2)利用柯西不等式证明(1)解因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故
4、m1.(2)证明由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.5（2013新课标（理）选修45;不等式选讲设均为正数,且,证明:(); ().【答案】 6（2013福建（理）不等式选讲:设不等式的解集为,且,.(1)求的值;(2)求函数的最小值.【答案】解:()因为,且,所以,且 解得,又因为,所以 ()因为 当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为 7（2013江苏卷）选修4-5:不定式选讲已知0,求证:8.【2014江苏卷 选修45：不等式选讲已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明：因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)
5、(1x2y)339xy.9.2014辽宁卷 选修45：不等式选讲设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N.(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2.解：(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31得x，故1x；当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x1.所以f(x)1的解集M.(2)由g(x)16x28x14得164，解得x，因此N，故MN.当xMN时，f(x)1x，于是x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x).10.2014新课标全国卷 选修45：不等式选讲设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范围解：(1)证明：由a0 ，有f(x)|xa|a2，所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5得6，从而不存在a，b，使2a3b6.1
