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1、浙江大学城市学院实验报告课程名称科学计算实验项目名称函数的数值逼近一插值实验成绩指导老师(签名)日期一. 实验目的和要求1. 掌握用Matlab计算Lagrange、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目, 对三种插值结果进行初步分析。2. 通过实例学习如何用插值方法解决实际问题。二. 实验内容和原理1) 编程题2-1要求写出Matlab源程序(m文件)，并对每一行语句加上适当的注释语句；2) 分析应用题2-2, 2-3, 2-4, 2-5要求将问题的分析过程、Matlab源程序、运行结果和结 果的解释、算法的分析等写在实验报告上。2-1 编程编写Lagrange插值函数的Matla
2、b程序，其中n个插值节点以数组x0 , y0输入，m个待求点的自变量以数组x输入。输出数组y为m个待求点的函数值。Lagrange 插值： y=lagr(x0, y0, x)Step 1输入插值节点数组x0， y0和待求节点x ；Step 2数组x0的长度为n，x的长度为m ；Step 3对i = 1,2,n，构造第i个插值基函数、(x-x0 ) (x-x0 )(x-x0 ) (x-x0 )i(x0 - x0 )(x0 - x0 )(x0 - x0 )(x0 - x0 )i1ii-1ii+1in并计算在m个待求点上的基函数值。Step 4根据公式y = y0 l (x)分别计算m个待求点上的函
3、数值。iii =1并对程序的每一行语句加上适当的注释语句。2-2 分析应用题1用y = x2在x = 0,1,4,9,16产生5个节点P,P。用以下五种不同的节点构造Lagrange15插值公式来计算x二5处的插值，与精确值比较并进行分析。1)用仆P4构造;2) 用勺仆P4构造;4)用 P, P , P , P 构造;12455)用全部插值节点P，P2, P3, P4, P5构造。，2-3 分析应用题意大利柑橘的产量变化如下表。使用3次样条插值来估计1962年、1977年和1992年的产量。将这些结果与相对应的实际值进行比较，并说明计算的精度。实际值分别为12380，27403和32059(x
4、 105kg)。再利用Lagrange插值多项式重新计算。年份196519701980198519901991产量(x105kg)1776924001259613433629036334172-4 分析应用题在区间T,1上,在21个平均分布的节点上对函数f (x) = sin 2兀x进行估计。计算Lagrange插值多项式和3次样条，并在给定的区间上将两个函数的曲线与f进行比较。使用干扰数据f (x ) = (-D+dO-4来重复计算。注意观察，对于小扰动，Lagrange插值多项式与3次样 i条相比，分析哪个更敏感。2-5 分析应用题 已知函数表如下x0.70.91.11.31.51.7si
5、n x0.64420.78330.89120.96360.99750.9917编制程序构造差商表，并构造牛顿插值多项式计算sinl.O的近似值。2-6 分析应用题利用2-1中的程序和Matlab相关函数分析用下列三种不同的插值逼近著名的Runge函数f (x) -1,1 + 25 x 2x G -1,11 ) Lagrange 插值;2) 分段线性插值;3) 三次样条插值。其中取插值节点为区间-1,1上的10等分点，同时列出100等分点上的三种插值结果，比 较分析，同时对这三种插值在100 等分点上进行作图比较。状进行插值，并作图。提示：可用构造“参数曲线”的方法，即在参数区间t,t , (t
6、 t t )上选取n个 1 n 12n插值点，然后用三次样条插值构造逼近函数在m个点上的值：x二x(t), y二y(t), i二1,2,m，最后以这m个点(x , y )作出图形。iiiii i2-8 分析应用题美国的人口普查每10年举行一次，下表列出了从1940年到1990年的人口(按千人计)年1940 年1950 年1960 年1970 年1980 年1990 年人口(千)1321651513261793232033022265422496331) 选择一种插值求在1930年、1965年和2010年人口的近似值。2) 1930年的人口大约是123203千。你认为你得到的1965年和2010年的人口数字精确度 如何？【MATLAB相关函数】 分段线性插值 y=interpl(xO,yO,x)输入值：n个插值节点对应数组x0, y0，以及m个待求点对应的数组x ；输出值：m个待求点对应的数组y。 三次样条插值 y=interpl(xO,yO,x,spline)或 y=spline(xO,yO,x)输入值：n个插值节点对应数组x0, y0，以及m个待求点对应的数组x ；输出值：m个待求点对应的数组y。三. 操作方法与实验步骤（包括实验数据记录和处理）四. 实验结果与分析
