排列、组合问题分类解析

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1、排列、组合问题分类解析一、解决排列、组合问题常用方法：两个原理、优限法、排除法、捆绑法（视一法） 、插 空法、隔板法、等可能法、固定模型、树图法等，但最基础的是“两个原理” .二、排列、组合问题大体分以下几个类型 类型一：排队问题例 1 ：7 人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1 ）甲不站排头，乙不站排尾 （2 ）甲、乙两人不站两端 （3 ）甲、乙两人相邻 （4 ）甲、乙两人不相邻 （5 ）甲、乙之间隔着 2 人（6 ）甲在乙的左边 （7）若 7 人顺序不变， 再加入 3 个人，要求保持原先 7 人顺序不变 （8 ）若 7 人中有 4 男生， 3 女生，男、女生相间隔排列 （9 ）7 人

2、站成前后两排，前排 3 人，后排 4 人的站法 （10 ）甲站中间 （11 ）7 人中现需改变 3 人所站位置，则不同排法 （12 ）若 7 人身高各不相同，则按照从高到低的站法 （ 13 ）甲、乙、丙 3 人中从左向右看由高到底（ 3 人身高不同）的站法 （14 ）若甲、乙两人去坐标号为 1，2，3，4，5，6，7 的七把椅子，要求每人两 边都有空位的坐法 类型二：分组与分配问题例 2 ：将 6 本不同的书，若按如下方式来分，则不同分法种数有：（1 ）平均分成 3 堆，每堆 2 本（2 ）分给甲、乙、丙 3 人，每人 2 本（3 ）分成 3 堆，每堆本数分别是 1 ，2 ，3 ，（4 ）分给

3、甲 1 本，乙 2 本，丙 3 本（5）分给 3 人，1 人 1 本， 1 人 2 本，1 人 3 本（6 ）分给甲、乙、丙 3 人，每人至少 1 本（7 ）若将 6 本不同书放到 5 个不同盒子里，有 种不同放法（8 ）若将 6 本不同书放到 5 个不同盒子里，每个盒子至少 1 本，则有 种不同放法。（9 ）若将 6 本不同书放到 6 个不同盒子里，恰有一个空盒子的方法 。（10 ）若将 6 本书放到四个不同盒子中，每个盒子至少一本 （ 11 ）若将 6 本编号为 1，2，3，4，5，6 的不同的书放到编号为 1，2，3，4， 5 ， 6 的 6 个不同盒子中，要求有 3 本书的编号与盒子不

4、一致的放法（12 ）将6名优秀指标分到4个不同的班中去，每班至少1名，则分法种数 从中得出注意问题：分清是否是平均分配，有无归属，如2本书平均分成2份，仅有一种分法，而7本书按2，2，3来分有C；c； C；A；种分法。类型三：数字问题例 3 :现有 0，1，2，3，4，可组成数字可重复的可组成无重复数字的可组成无重复数字的(1)(2)(3)(4)(5)(6)5共6个数字5位数有_5位数个个5位偶数的个数可组成能被5整除的无重复数字的五位数 个在（3 ）中所有的偶数中，从小到大，第100个数是用1，2，3，4组成无重复数字的四位数，所有这些四位数的数字和是所有这些四位数的和是 （7 ）由0,1，

5、2，3，4，5六个数构成四位数中个位数与百位数之差的绝对值为4的有个（8 ）在由数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的 5位数中，大于23145且小 于43521的数有个。（9 ）若从1 邻的选法（10 ） 1800 类型四：几何问题 例4（1 ）（2）（3）（4）（5）到100这100个自然数中，任取 20个数，要求这20个数两两不相种。的正约数的个数为）从正方体的）从正方体的）从正方体的）从三棱柱中，）在四面体的顶点、各棱中点共 有个面中任选取3个面，其中有2个面不相邻的选法种数是个顶点中，任取两点相连，可形成 对异面直线。个顶点中任取3点连成一个三角形，其中直角三角形有 任取两个顶点连

6、成一条直线，其中异面直线有个。对。10个点中，任取4点，使其不共面，不同取法6题图种。5题图(6)如图，在 MON的边OM上有5个异于O的点，ON上有4个异于O的点，以这10个点为顶点，可得 个三角形。(7 )正六边形的中心和顶点共 7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个。(8)A、B、C、D是海上四岛，要建三座桥，将四岛联接起来，则不同建桥方案有种。(9 )在平面直角坐标系中，平行直线X=n (n : 0, 1，2，3，4，5 )与平行直线y=m(m:0 ，1，2，3，4，5)组成图形中，矩形有 个。(10 )从集合1,2,3L 11中任取两个元素，作为椭圆方程2x2m2y21 的 m、

7、n，n且能组成落在矩形区域B (x, y) |x| 11且|y| 9的椭圆个数为_个(11 )已知直线ax by 10(a2 b20)与圆x2 y250有公共点，且公共点的横、纵坐标为整数，这样的直线有 条。(12 )ABC有任意三点不共线的 2005个点，加上 A、B、C三个顶点共2008个点，把这2008个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可形成小三角形个。(13 )若直线方程 Ax By 0的系数A、B可以从0，1，2，3，6，7这六个数字中取不同的数而得到，则这样的方程表示不同直线的条数是 。(14 )空间中有12个点，其中5点共面，此外无任何四点共面，这12个点可确定个不同的平面。

8、(15 )如图，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三15题图(16 )从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取 3条的不同取法共有 n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边构成钝角三角形的个数为m，则。n类型五：涂色问题例5 :( 1 )如图用5种不同颜色给图中 A、B、C、D四个区域涂色，规定每一区域只涂 一种颜色，相邻区域涂不同色，共有种不同涂法(2 )如图一地区有5个行政区域，现给地图涂色， 现有4种颜色供选择，则不同着色方法有 _2题图要求相邻区域不得使用同一颜色, 种。(3 )某城市中心广建一花圃，花辅分6个部分，现有4种不同颜色的花，每部分栽种一种

9、，且相邻区域不能栽种同一种花，则不同栽种方法有种。如果仅有5种颜色供使用，则有2(5)直线x m,y x将圆面xy24分成若干块，现用 5种不同颜色给这若并使同一条棱上的端点颜色不同,(4) 如图将一四棱锥每一个顶点染上同一种颜色， 种不同染色方法。O6题图120种涂色，则m的干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有 取值围是5题图(6 )如右图所示，用5种不同颜色着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可反复利用，则不同着色方案有 种。类型六：列方程求解问题例 6 ：（ 1）某场足球比赛的计分规则是胜一场得3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，一球队打完 15 场后积 3

10、3 分，若不考虑顺序， 则该队胜、 负、平的情况共有多少种？（ 2 ）某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别是 60 元、 70 元的单片 软件和盒装磁带，根据需要，软件至少买 3 件，磁盒至少买 2 盒，则不同的选 购方法有几种？（3 ）一个口袋有 4 个不同的红球和 6 个不同的白球。从中任取 4 个球，使红球的个数不比白球少，这样的取法有多少种？若取一红球记 2 分，取一白球记 1 分，从口袋中取 5 个球，使总分不少于7 的取法种数有多少种？（4 ）一铁路原有 n 个车站，为适应客运要求，新增 m 个车站（ m 1），客运票增 加了 62 种，则原有车站 个，现有 个。类

11、型七：选人问题例 7 ：现从 12 人中选出 5 人参加一项活动，求满足下列条件的选法。（1）A、B 、C 三人必须入选：（2）A、B 、C 三人不能入选：（3）A、B 、C 三人中只有 1 人入选：（4）A、B 、C 三人中至少有 1 人入选：（5）A、B 、C 三人中至多二人入选：例 8：（ 1）在 11 名工人中，有 5 人只会排版， 4 人只会印刷，还有 2 人既会排版也会 印刷，现从 11 人中选 4 人排版， 4 人印刷，共有 种不同选法。（2 ）某外商计划在 4 个侯选城市投资 3 个不同的项目，且在每一城市投资项目不 超过 2 个，则该外商不同的投资方案，有 种。（3）函数 f

12、 : 1,2,31,2,3 满足 f （f （x） f （x） ，则这样的函数个数共有 _个。（4 ）写有 0， 1，2 ，5，7，9 的六种卡片，若允许 9 可以当 6 用，那么从中抽出 三卡片，可以组成 个不同的三位数。（5） 设%是等差数列，从 a1,a2,L a10中任取3个不同的数，使这三个数仍成 等差数列，则这样的等差数列最多可有 （6）从 6 名学生中，选出 4 人分别从事 A、B、C、D 四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事工作 A，则不同的选派方案共有 种。10（7 ）将（x y z）展开后，经合并同类项后的项数有 项。参考答案、排队问题例1：解法1： A6 C54A5

13、3720(优限法)765法 2: A7 2A6 A3720（排除法） A2A52400（优限法）(3) AfA!1440（捆绑法）(4) Aa；a63600（排除法）524 A5a2A4960（捆绑法）A7 2 2520（等可能法）(7) c8c9c；0720（插空法）(8) AA 144（插空法）(9) A 5040（分步计数）(10) A 720（优限法）3（11）C72 70（分步计数,从7人中任取3人，如a,b,c,则改变原位置站法有2种,b,c,a和 c,a,b）（12）1（固定模型）（14）6 X A 12种）二、分组与分配问题（13）AT 840（等可能）（固定模型，甲、乙两人坐

14、法有（2,4）（2,5）（2,6）（3,5）（3,6）（4,6）6例2:解警15种（平均分组，无归属）2 2 2（2） C6C4C290禾申（平均分配，有归属,而这种分法又可分以下两步：先平均分成3份，每份2本,再分给 C6C5C360 种（不平均分配,无归属）123 C6C5 C360 种（不平均分配,有归属） C1CsC3a3360种（不平均分配,有归属但不固定）2 2 2 C6 C4C2C66A3c6c；c；a3540种（分类计数,3人手中书本数可分（2,2,2）(1,1,4)(1,2,3)3 类)56种2八5(8) C6 A51800 种(9) C6 A610800种(10)cA4CC2 A4A A41560?中(有(1,1,1,3)(1,1,2,2)两类放法）(11) c； 240种（同例1第（11）题）