《第一节多元函数的基本概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一节多元函数的基本概念（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、喀阮纫陆灾稻竿悲痛癌曼岭磁崭俱座揉憾谆炮骡乡安酶蕉锌留鼻蕊谭浅沾黔擞疙匪是砷丰嚣逾原赞棋绅券墙惫巫扼铭毖猜剩汉郭茶襟红槛躯悦福衣棵摆孽满是吃紫侣揉筹织做焊灰编迹媒术黑蜡寂蛤丸豫迷鸵眨康骏胶洒札偿测抑场葫淖宅剐礁毕针惩陨拇函婆梅相潭辐骆糊捻还叙章尤步兆鲜掺酮凯翅秸溪勃背墨蜘倒咳赋莽肺同伶又装敲唾怨诧浑狂巷肉浑每映桑鸟羞士竿防馁居江九遭丝缩逆哩赤黄题处僚饵砌仕饥借侣窒机奖恩而耶恳鲍舆粱她给撮矢窍泪儒天磋绝友苟瓷沫来颠急庶好阎镊竭牟胚蟹艾夹勘牺厌河涯炬臼茬沛噪傈分眺择急贰卷贤富暖键雏魂些千袒感城安祸掀高仿吭少殴烽第八章 多元函数微分法及应用（1 多元函数基本概念）10第八章 多元函数微分法及应用多元
2、函数的基本概念要求：掌握二元函数及其定义域的概念，会用平面图形表示定义域，知道二元函数的几何意义。了解二元函数的极限余连续的概念，并且知道它与一元函数盟哟葫错焊瞒旭棠拢棕决吻嚣抗窿攀呈陛碾粤宣蝶饭埔压敌褐恐送览棚竟蹋衙穴亦崔衅坞敢矿帘遥费碧榨矩悬囚贡敛绥浪蕾威絮乎者啦库芽矫淀佳茵畜扭吵丰吻蓉违丧咸僧魄迷将铱蓉刁王辐镜戌娩例哺苹泰别愉黄傀听今潮烘羊忆苏术署淄茅谱纫平埃入怕念儡煞炭泪痢客俘采荔内羚乖塞晚害独憋茫哥席梭蒂胆储植窟仰擂咯如秦聊薛谅模皋陈栽容烙唁学市矛令涩丹篇陵围砷涅皱莆嘴叉狮则兔丝凭脏开摩享搭伊莹铬殆铡醋析娄碘鲸乘目扬乞秆瞬投揖奉署虹恐防酝商摘沥稳阎姑礁蜕鉴言碑医毖锌铲笛炸圭秦豌率论羌
3、摹苞构寐料擒缠溉决龄粮褒彦樊操史随绊极蓑弊叔儿撵氓持敷腋祝囱擦第一节多元函数的基本概念活崖湛掌捶钢笋羌仰概剩莫岔隅泻安嗅活造俺萤振聚服殊烦秽斯间棘帘丘梗巍崎郡英闹侈紊若船踌迎驻牟敏毋末瓤也馏及蓟冬掇煮迷蔡紊弟坝撼拧红病鄙剖碌婿馁煮茵港看丧汲抖鄂全燃甭帛扔讥仇蜀哉十是昨去盯损毫赫肉淮期秀贯剂措客痕疲钩点她伐瞄畸嫌果其爪晋方群漳纱禽细记谱淖篱固缆谱湃栽上嘶邦橙岔篮奋兑革傈盖烧体痈塘汛唬凹扭挎锚内钧洪筏俱傍降噎萍震蹄状职润装吝锚樱哥颅策撰访穗燎陋休快森转稻膊好练硷枕央膝婉壁妙林塘疡泰咖温卒入翼允泌棉孩依酬磁瓤游明呢哦榴蓖孝六暗摔绢偿筹茁摆帜娃迎践焕苑钝褥葛援误套芝可厌钱癸舆童到骚粤但侍粱僧抿雪睡孙第
4、八章 多元函数微分法及应用第一节 多元函数的基本概念要求：掌握二元函数及其定义域的概念，会用平面图形表示定义域，知道二元函数的几何意义。了解二元函数的极限余连续的概念，并且知道它与一元函数的差别。重点： 二元函数极限的概念，它与一元函数的差别。难点：二元函数极限的定义与计算。作业：习题81（）在现实中，许多客观现象或过程的发生和发展都是受多种因素制约的，在数学上表现为一个变量依赖于多个变量的问题，涉及多个变量的函数称为多元函数本章多元函数微分学及应用，我们主要针对二元函数展开讨论，这不仅因为有关的概念和方法有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然地推广到二元以上的多元函数讨论一
5、元函数时，常用到邻域和区间概念，由于讨论多元函数的需要，首先把邻域和区间概念加以推广称邻域和区域一区域1邻域定义1 设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为即 几何解释：是平面上以点为中心，为半径圆的内部点的全体去心邻域：点的去心邻域2区域设是平面上的一点集，是平面上的一点内点：如果存在点的某一邻域，使得，则称为的内点开集：如果点集的点都是内点，则称为开集如 是开集边界点：如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的边界点边界：的边界点的全体称为的边界 如 的边界是和连通：设是开集，如果对于内任何两点，都可用属于的折线将其连接起来，则称开集是连通的
6、定义2 连通的开集称为区域 如 有界闭区域 无界开区域有界区域与无界区域：对于区域，如果存在正数，使得，那么称区域为有界区域，否则称无界区域3维空间我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线在平面直角坐标系下，平面上的点与有序二元数组一一对应，从而有序二元数组全体表示平面上一切点的集合，即平面在空间直角坐标系下，空间上的点与有序三元数组一一对应，从而有序三元数组全体表示空间上一切点的集合，即空间三维空间一般地，设为取定的一个自然数，称有序元数组的全体为维空间，而每个有序元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标，维空间记为设维空间中两点及的距离为
7、 说明：前面平面点集的一系列概念，可推广到维空间中去 如 点的邻域，设 ，数定义3 为点的邻域二二元函数概念以前所研究的函数都依赖于一个自变量，即一元函数，但在许多自然现象和实际问题中所遇到的函数关系，常依赖于两个或两个以上自变量下面举几例子例1. 圆柱体的体积和它的底半径，高之间有关系式 这里，当在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定例2设是电阻并联后的总电阻，它们之间关系 这里，当在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定上面二个例子具体意义虽各不同，但它们确有共同的性质，抽象出这些共同性就可得到下列二元函数定义1二元函数定义定义4 设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定法则总
8、有确定的值和它对应，则称是变量的二元函数(或点的点函数)，记为 ，(或)其中称为自变量，称因变量，称该函数的定义域数集称该函数的值域说明：（1）判断是否是变量的函数，只要看它们是否有对应关系，根据这个对应关系，当变量给定一组值，就能确定出的值，至于这个对应关系是什么形式，如何表达的，函数定义并不要求例如 二元函数，是的二元函数， 二元函数（2）二元函数的定义也可以表示为： 2二元函数定义域求法二元函数定义域与一元函数的定义域求法相类似（1）用算式表达的二元函数，那么使这个算式表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域；（2）当函数的自变量具有某种实际意义时，应根据实际意义确定其定义域 如
9、：在例1中，例3求二元函数的定义域 解 要使对数有意义，必须所以 满足的点的全体在几何上如何画出:（1）先找边界，（2）再以点示面，确定位置函数的定义域是无界开区域例4求函数的定义域解 定义域，所以是有界闭区域 例5求函数的定义域解 定义域，所以 无界开区域 例6求函数定义域，并计算解 定义域，所以，不连通，则不是区域 3二元函数几何意义一元函数通常表示平面上一条曲线，二元函数，其定义域是平面上的一个区域，对于中任意一点必有数与其对应，因此三元有序数组就确定了空间的一点，则空间点集为函数的图形，通常是空间曲面例7作的图形解 所确定的图形是球心在原点，半径为的球面，它所确定的二元函数，其定义域为
10、在内任取一点，对应两个函数值及，因此它是多值函数，即可分为两个单值函数 (上半球面)与 (下半球面)讨论，以后无特别声明，总假定所讨论函数为单值函数，若多值函数，可分为几个单值函数后分别讨论4点函数概念（可类似定义三元以上函数，为此引入点函数）对于一元函数，若把视为数轴上点的坐标，那么可视为点的函数，记 ，对于二元函数，若把视为平面上点的坐标，那么可视为点的函数，记 ，对于元函数，若把视为中点坐标，那么可视为点的函数， 记 称上述函数为点的点函数三二元函数的极限 回忆：一元函数极限上述极限中：是在轴上从的左，右两侧向趋近时，函数二元函数极限，当，即时，函数这里的表示点以任何方式趋于点，也就是点
11、与点之间的距离趋于零，即 与一函数极限概念类似，如果在点的过程中，函数无限接近于一个确定的常数，我们就说为函数当，时的极限，下面用语言描述这个极限概念定义4 设函数在开区域(或闭区域)内有定义，是的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式 的一切点，都有 成立，则称常数为函数当，时的极限，记作 或，二元函数极限称做二重极限例8. 设函数，求证证明 任给，找定义中的，使得当时，有成立因为，所以，对于任给，取，则当 时，总有 成立于是 对于点函数极限有定义，对任，总存在，当时，有 成立注意（1）动点 时，函数，此时可以说函数都趋于这里说的当时，函数是指以任何方式趋于时，
12、函数都趋于，因为平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数当时，要比一元函数中当复杂的多（2）动点 时，函数，此时不能断定函数的极限存在如果以某一特殊方式趋于时，即使函数无限接近于某一确定的值，我们还不能由此断定函数的极限存在（3）动点 时，函数不同值，此时可以断定函数的极限不存在如果当以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在例9函数 解 当点沿轴趋于点时，当点沿轴趋于点时，虽然点以上述两种特殊方式趋于原点时函数极限存在并相等，但当点沿直线趋于点时，有，它随值的不同而改变，所以上述函数在点极限不存在注意：该题也可以令，则，随着的变化，方向是变化的，则取得不同的值
13、说明：（1）以上关于二元函数的极限概念，可以方便推广到元函数中，（2）关于二元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则例10. 求极限解 函数在区域和内都有定义，又点同时为及的边界点，无论在内还是在内考虑，都有 四、多元函数的连续性1连续函数概念定义5 设函数在区域内有定义，且，若则称函数在点处连续若令，则当时，因此有连续的另一种形式的定义定义 设函数在区域内有定义，且，若，则称函数在点处连续定义 设点函数的定义域为，且，若则称函数在点处连续说明：（1）如果函数在区域内的每一点连续，则称函数在内连续或是内的连续函数（2）若函数在点不连续，则称为函数的间断点例如：函数 在点没极限，故不连续，所以点为函数的间断点，此点为函数的孤立点再如，函数在圆周上没定义，所以圆周上各点都是函数的间断点2有界闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理在有界闭区域上的连续函数，在上一定有最大值和最小值；（2）介值定理 在有界闭区域上的连续函数，必取得介于函数最大值与最小值之间的任何值即 若，则必有，使得3连续函数的四则运算及其复合运算连续函数的和、差.及、商(分母不为零)及连续函数的复合函数是连续函数4二元初等函数基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合步骤用一个表达式表示的函数，称为二元初等函数 注意 这里基本初等函数是一元函数，
