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1、幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.【思考】幂函数与指数函数有何不同？本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置【例】1.下列函数：；，其中幂函数的个数为（ ） 2.若函数是幂函数，则实数k的值是（ ） 3.已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)的表达式是？ 4.当时，幂函数为减函数，则实数m的值为？二、函数的图像和性质（1） （2） （3） （4） （5）用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：定
2、义域奇偶性单调性定点（公共点）整理为word格式【例】已知幂函数f(x)的图像过点，幂函数g（x）的图像过点，（1）求f(x)，g（x）的解析式；（2）当x为何值时：f(x)g（x）；f(x)=g（x）；f(x)g（x）【变式】若点改为，探求f(x)与g（x）中较小的一个的单调性及奇偶性。【规律小结】(1)求幂函数解析式的步骤为以下几点：设出幂函数的一般形式yx(为常数)； 根据已知条件求出的值(待定系数法)；定出幂函数的解析式 (2)作直线xt，t(1，)与幂函数的各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的【幂函数性质】（1）单调性：所有的幂函数在（0，+）都有定义，并
3、且图象都过点（1，1）； 时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数 时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数.（2）奇偶性:幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断。【例】已知莫函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，求满足的a的范围。【变式】例题题干不变，（1）求函数f（x）； （2）讨论的奇偶性【归纳小结】解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围整理为word格式三两类基本函数的归纳比较： 定义对数函数的定义：一般地，我们把函数（0
4、且1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）幂函数的定义：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.性质对数函数的性质：定义域：（0，+）；值域：R；过点（1，0），即当=1，=0；在（0，+）上是增函数；在（0，+）是上减函数幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+）都有定义，图象都过点（1，1）时，幂函数的图象都通过原点；在0，+上，、是增函数；在（0，+）上， 是减函数。【例题选讲】例1已知函数，当 为何值时，：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；【变式训练】已知函数，当 为何值时，在第一象
5、限内它的图像是上升曲线。小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。例2比较大小：（1） （2）（3）（4）例3已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值整理为word格式例4、设函数f（x）x3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f1（x）f（x），f1（x）f（x），f1（x）f（x）的实数x的范围点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦例5、求函数y2x4（x32）值域点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）2. 下列函数在上为减函数的是（ ）3. 下列幂函数中定义域为的
6、是（ ）4函数y（x22x）的定义域是（）Ax|x0或x2B（，0）（2，） C（，0）2，D（0，2）5函数y（1x2）的值域是（）A0，B（0，1） C（0，1） D0，16函数y的单调递减区间为（）A（，1）B（，0） C0， D（，）7若aa，则a的取值范围是（）Aa1Ba0 C1a0 D1a08函数y的定义域是 。整理为word格式9函数y在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_10、讨论函数y的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图11、比较下列各组中两个数的大小：（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若
7、能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小12已知函数y（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间规律总结1在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2对于幂函数y，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即0，01和1三种情况下曲线的基本形状，还要注意0，1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即0（1）时图象是抛物线型；0时图象是双曲线型；1时图象是竖直抛物线型；01时图象是横卧抛物线型 友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！ 整理为word格式
