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1、P弱形式简介G:看到一种简介CSL解决物理问题弱形式的文档，感觉很牛啊，通过COMSOL Multphysic的弱形式顾客界面来求解更多更复杂的问题，这绝对是物理研究的利器啊!并且貌似COSOL是唯一可以直接使用弱形式来求解问题的软件。为什么要理解PDE方程的弱形式？一般状况下,PDE方程都已经内置在COML Mliphsc的各个模块当中,这种状况下，没有必要去理解PD方程和及其有关的弱形式。有时候也许问题是没有措施用COMS Mltiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使用典型DE模版。但是,有时候也许典型PD模版也不涉及规定解的问题,这个时候就只能使用弱形式了(虽然这种状况是很少数
2、的)。另一种因素就是弱形式有时候描述问题比E方程紧凑的多。尚有,如果你是一种专家去教有限元分析措施，可以协助学生们直接运用弱形式来更进一步的理解有限元。最后，你对有限元措施理解的越多,对于CSOL中的某些求解器的高档设立就懂得更多。一种重要的事实是:在所有的应用模式和PE模式求解的时候,COMSOLMultipyis都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解。物理问题的三种描述方式1. 偏微分方程2. 能量最小化形式3. 弱形式PDE问题常常具有最小能量问题的等效形式,这让人有一种直觉,那就是PDE方程都可以有相应的弱形式。事实上这些PDE方程和能量最小值问题只是同一种物理方程的两种不同体现
3、形式罢了，同样，弱形式（几乎)是同一种物理方程的第三个等效形式。我们必须记住,这三种形式只是求解同一种问题的三种不同形式用数学措施求解真实世界的物理现象。根据不同的需求,这三种方式又有各自不同的长处。三种不同形式的求解PE形式在多种书籍中比较常用,并且一般都提供了PD方程的解法。能量法一般见于构造分析的文献中，采用弹性势能最小化形式求解问题是相称自然的一件事。当我们的研究范畴超过了原则有限元应用领域，例如传热和构造,这个时候弱形式是不可避免的。化工中的传质问题和流体中的N-方程都是没有措施用最小能量原理表述出来的。弱形式的特点PDE方程是带有偏微分算子的方程，而能量方程是以积分形式体现的。积分
4、形式的好处就是特别适合于有限元措施，并且不用紧张积分变量的不持续,这在偏微分方程中比较普遍。弱形式也是积分形式,拥有和积分形式同样的长处，但是她对积分变量的持续性规定更低，可以看作是能量最小化形式的更一般形式。最重要的是,弱形式非常适合求解非线性的多物理场问题，这就是COMOL Multhysc的重点了。E到泛函变分J:PD方程一般很难求出解析解,一般需要根据变分原理(数学定律）或最小能量原理(物理定律）转化为泛函变分问题，即得到积分形式,从而便于使用有限元法划分区域离散化，得到刚度矩阵,而最后求解得到PDE的近似数值解。这基本上就是一般的工程中的有限元分析，如平面弹性力学问题、温度场分析及动
5、力学问题等。平面弹性力学问题是通过最小势能原理或虚功原理(两者是同一问题的不同表述形式)建立积分泛函的，温度场可以通过能量法建立泛函,也可以通过变分原理裸建泛函。下面说一说常用的PD问题根据最小能量原理建立泛函变分。弹性静力学D及其弹性能量方程在静力构造分析问题中,我们需规定解的是Navi方程其中是应力张量,F是体力,例如重力等。计算区域记为,其边界记为。应力张量和应变张量之间的关系称为本构关系，线弹性本构一般遵循胡克HOOK定律其中是弹性张量,这个关系式阐明材料的行为事实上和弹簧差不多(前提是线弹性)。最后，我们可以将应变矢量和位移的关系表述出来这里u指的是位移矢量=(u，v,),其定义就是
6、变形体上的材料点和未变形时候的位移差。总结以上所有的方程，我们得到了一种二阶PDE方程(vie方程），需要一种边界条件来求解，其中n是表面的法矢,P是边界上的面力或牵引力。可以顺便提一下,这个PDE方程的弱形式为,其中称为试函数。注意,尽管ave方程是一种矢量体现式,但是上面的体现式是一种标量形式。弹性势能在构造分析中,PD方程及其弱形式的体现式都不太常用,相反，能量最小化形式由于其直观的体现形式用的较多。此类问题的能量积分形式相应于总势能的最小化，即对象中存储的弹性能。总弹性能是一种标量,可以写成：弹性能体现式同样合用于非线性问题。在这些体现式中,我们假设体力F为零,并忽视了边界效应。这些影
7、响可以在后来引入。积分的意义是每个体积微元的内能总和,其中应力张量单位是P，微元体上的应变没有单位，d单位是体积，因此积分出来的单位应当是Nm。如果问题是线弹性的，则可以显式的写为：联立上面的式子得到:我们用替代来配合COMOL Mutiysis手册中的标记方式。弹性能积分形式下的单位阐明:最后给出总的积分单位是N能量。的体现式就是我们一般说的能量泛函，即位移矢量（或事实上是u的梯度)的泛函。这种函数的函数，而不是坐标的函数,一般被称为泛函,比单元微积分和多元微积分更加抽象。与积分类似，我们可以说就是函数的泛函:我们要阐明一下函数和泛函的某些区别,古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一
8、种相应关系,现代数学的发展却是规定建立两个任意集合之间的某种相应关系。函数概念被赋予了更为一般的意义，通俗解释泛函指的就是“函数的函数”。在这里定义域为,泛函可以在整个定义域内进行微分积分等操作。泛函的变量是函数,这个函数也是有容许空间的。如果函数u可以变化，也许会产生某些不符合物理规则的某些现象，例如构造的刚性位移等。例如一种对u的基本约束就是材料不能穿越自身。在有限元分析中,泛函一般是某种能量积分,例如弹性能。对于其她的物理场,也许是其她的能量积分，或者是一种等效于能量的标量也可以。至于积分区域,一般由分析对象的CA几何区域所拟定。静态电流传导和能量的生成在静态导电问题中,PDE方程由最基
9、本的保守形式开始：其中J是电流密度。材料(或本构）模型采用欧姆Om定律：其中E是电场，是电导率。此外,已知:其中是静电势,综合以上式子得到在OSO Mliphyscs中，这就是所谓的CodtiMed DC方程。电阻产生的热能稳态电流的能量问题是在电导体中的电阻热其中J表达电流强度，E代表电场强度，是一种二阶电导张量(3)。如果导体是金属，电导张量一般是一种对角矩阵，如果是晶体，状况就复杂多了。尽量减少电阻产生的热量，也就是减少热损耗,是我们要研究的一种最小值问题。如果问题是线性,则积分可以显式地写成：由于,其中V是电势，可以得到:将这个式子与构造力学中的式子进行对比,发现她们非常相似。的梯度相
10、应于位移梯度,电导率张量相应于弹性张量。传热DE方程和能量形式对于稳态传热问题，PDE形式为：其中T是温度，k是热传导系数，Q是空间分布的热源。热能基于传热方程的典型泛函为：其中T是温度,k是热传导系数张量(3)。泛函求极值J:泛函求极值,即泛函变分，之前写过博客说过它的具体思想,下面的简介可以说是从另一种角度解释。通过推导会发现，通过能量最小化原理睬重新回到了DE形式上,从而阐明能量最小化形式和DE是同一问题的不同表述。函数求极值考虑一种多元微积分函数f，我们规定最小值:寻找x使得(x） 最小化这里x是一种矢量，或者点的坐标。通过微积分我们懂得，这个时候一方面必须求函数f的梯度。将梯度的设立
11、为0，我们可得到一种非线性方程组。求解方程，我们可以得到一系列的坐标点x,如果在其中某点处的二阶倒数（一般称为Hesian矩阵)为正（或者说有正的特性值),就说这点就是我们规定的极小点,就仿佛该点是整个函数的一种谷底同样。运用Talo展开的观点,假设已知一种最小值x,我们可以在上面施加一种小的扰动，由Tyor展开可得:这里H就是前面所说的Hessia矩阵。目前我们用其她的措施来阐明函数在x最小。一方面,假设x是一种极值点，当添加了一种后，f对于其一阶值不变化。换句话说，如果我们在上添加一种来扰动f，其一阶Tayor级数应当为0。这个条件应当对每个方向都是成立的，否则该点就不是极值点了。如果上式
12、第二项为0:对于任意小的都成立,也就是:我们这里只是用一种稍微有点不同的措施得到了一种同样的成果。但是，这只是给了我们一种极值点的信息，如果要拟定其是最小极值点,必须保证第三项(二阶项）对于任意都为正：只有当H的特性值都为正时,上式成立(参照线性代数)。有也许会遇到二阶项也总为，这个时候我们必须借助更高阶项来判断极值点。下面是函数f的一种特例：二次多项式：其中A是对称矩阵。如果我们应用ayo展开,可得到：或者这里零阶，一阶和二级项都在独立的中括号内。为了得到一阶变分，矩阵必须是对称的。极值的条件成了：对于任意小都必须成立，则上式成为:这里我们对矩阵进行了转置，并且运用了矩阵A的对称性，即。极小
13、值的条件也就是矩阵A必须是一种正定矩阵，如果矩阵A是负定矩阵(只有负特性值），则得到极大值。如果A是不拟定的(特性值有正有负)，则极值也许是一种鞍点,既不是极大值,也不是极小值。如果矩阵A是对称的,并且正定,则函数f是超椭圆的。在2D中,超椭圆就是椭圆。二次多项式的几何特性影响典型的P方程和有限问题的分类。当运用有限元措施去离散一种椭圆的DE问题时候，得到一种对称矩阵（刚度矩阵）的线性代数系统。这样的问题一般等效于最小能量问题。弹性静力学问题泛函求极值还是以线性静态问题为例,由于这是所有有限元理论都会提到的,从而更容易进行比较。理论概述让我们回到线弹性问题的弹性能泛函体现式:这里的位移矢量u和
14、前面讲的微积分中的点矢量x的角色类似。要寻找能量泛函的最小值，我们一方面必须得在u上施加一种扰动:上式中两个中间项实质上是同样的(由于c的对称性),因此我们可以写成：将上式和多元函数体现式对比，我们发现寻找极值点就是找一种使二次项为零的u：其中是任意的。如果我们要寻找的是极小点，则还必须有:第二项就是泛函的一阶微分:第三项成为泛函的二级微分:和前面同样,为了寻找极小点，我们必须保证对于任意第一阶微分为零,二阶微分为正。这种寻找最小势能函数的措施也可以称作虚功原理。(这就明白理论力学里所谓虚位移的意义了,就是一种任意的扰动）此外尚有一种措施就是初始的时候将扰动写成，这时对于任意可取的,其能量函数
15、写成。回到微积分的基本概念，去寻找W对于的极值点：如果我们将它当作是对于的Taylor展开,就可以找出其一阶导数（对于极值点必须为零)，由于是任意可取的,我们可以得到和前面相似的成果。小结上面的过程省略诸多推导环节，如果人们对推导有爱好,可以试着自己推导。要阐明一下的是：1、 变量（而不是它的梯度)必须是很小并且是任意的。2、 这里没有考虑边界条件和体力，例如重力等等。我们前面所讨论的问题局限于一种没有任何约束和载荷的边界条件的区域上。3、 一般来说的限制比多元微积分中宽松。在泛函中，只要是在容许的范畴内即可，也就是必须和物理位移场相相应。理解这个意思对理解有限元弱形式非常重要。考虑边界条件和体力如前面所讲，弹性能的泛函形式是不完整的,由于它没有加上相应的边界条件和载荷。弹性能的单位是，也就是力乘上位移。在边界上
