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1、 专题升级训练 解答题专项训练(数列)1.设数列an的前n项和Sn满足2Sn=an+1-2n+1+1,nN*,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式.2.已知各项都不相等的等差数列an的前6项和为60,且a6为a1和a21的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn+1-bn=an(nN*),且b1=3,求数列的前n项和Tn.3.已知数列an是公差为正的等差数列,其前n项和为Sn,点(n,Sn)在抛物线y=x2+x上;各项都为正数的等比数列bn满足b1b3=,b5=.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)记Cn=anbn,求数列Cn
2、的前n项和Tn.4.已知Sn是等比数列an的前n项和,S4,S10,S7成等差数列.(1)求证a3,a9,a6成等差数列;(2)若a1=1,求数列的前n项的积.5.已知数列an满足:a1=1,an+1=(1)求a2,a3;(2)设bn=a2n-2,nN*,求证:bn是等比数列,并求其通项公式;(3)在(2)的条件下,求数列an前100项中的所有偶数项的和S.6.已知数列an(nN*)是首项为a,公比为q0的等比数列,Sn是数列an的前n项和,已知12S3,S6,S12-S6成等比数列.(1)当公比q取何值时,使得a1,2a7,3a4成等差数列?(2)在(1)的条件下,求Tn=a1+2a4+3a
3、7+na3n-2.7.已知数列an的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数a1,a2,a4,a7,构成等差数列bn,Sn是bn的前n项和,且b1=a1=1,S5=15. (1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公比相等,已知a9=16,求a50的值;(2)设Tn=+,求Tn.8.(20xx广东深圳模拟,18)各项为正数的数列an满足=4Sn-2an-1(nN*),其中Sn为an的前n项和.(1)求a1,a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)是否存在正整数m,n,使得向量a=(2an+2,m)与向量b=(-an+5,3+an)垂直?说
4、明理由.#1.解:(1)在2Sn=an+1-2n+1+1中,令n=1,得2S1=a2-22+1,令n=2,得2S2=a3-23+1,来源:解得a2=2a1+3,a3=6a1+13.又2(a2+5)=a1+a3,解得a1=1.(2)2Sn=an+1-2n+1+1,2Sn+1=an+2-2n+2+1,得an+2=3an+1+2n+1,又a1=1,a2=5也满足a2=3a1+21,an+1=3an+2n对nN*成立.an+1+2n+1=3(an+2n),an+2n=3n,an=3n-2n.2.解:(1)设等差数列an的公差为d(d0),则解得an=2n+3.(2)由bn+1-bn=an,bn-bn-
5、1=an-1(n2,nN*),bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=(n-1)+3=n(n+2).bn=n(n+2)(nN*).,Tn=.3.解:(1)Sn=n2+n,当n=1时,a1=S1=2;当n2时,Sn-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n+1.an=Sn-Sn-1=3n-1(n2).当n=1时,a1=3-1=2满足题意.数列an是首项为2,公差为3的等差数列.an=3n-1.又各项都为正数的等比数列bn满足b1b3=,b5=,b2=b1q=,b1q4=,解得b1=,q=,bn=.(2)Cn=(3n-1),Tn=2+5
6、+(3n-4)+(3n-1),Tn=2+5+(3n-4)+(3n-1),-,得Tn=1+3-(3n-1)=1+3-(3n-1)-3-(3n-1).Tn=5-.4.解:(1)当q=1时,2S10S4+S7,q1.由2S10=S4+S7,得.a10,q1,2q10=q4+q7.来源:则2a1q8=a1q2+a1q5.2a9=a3+a6.a3,a9,a6成等差数列.(2)依题意设数列的前n项的积为Tn,Tn=13q3(q2)3(qn-1)3=q3(q3)2(q3)n-1=(q3)1+2+3+(n-1)=(q3.又由(1)得2q10=q4+q7,2q6-q3-1=0,解得q3=1(舍),q3=-.Tn
7、=.5.解:(1)a2=,a3=-.(2)=,又b1=a2-2=-,数列bn是等比数列,且bn=-.(3)由(2)得a2n=bn+2=2-(n=1,2,3,50),S=a2+a4+a100=250-=100-1+=99+.6.解:(1)由题意可知,a0.当q=1时,则12S3=36a,S6=6a,S12-S6=6a,此时不满足条件12S3,S6,S12-S6成等比数列;当q1时,则12S3=12,S6=,S12-S6=,由题意得12,化简整理得(4q3+1)(3q3-1)(1-q3)(1-q6)=0,解得q3=-,或q3=,或q=-1.当q=-1时,a1+3a4=-2a,2a7=2a,a1+3
8、a42(2a7),不满足条件;当q3=-时,a1+3a4=a(1+3q3)=,2(2a7)=4aq6=,即a1+3a4=2(2a7),当q=-时,满足条件;当q3=时,a1+3a4=a(1+3q3)=2a,2(2a7)=4aq6=,a1+3a42(2a7),从而当q3=时,不满足条件.综上,当q=-时,使得a1,2a7,3a4成等差数列.(2)由(1)得na3n-2=na.Tn=a+2a+3a+(n-1)a+na,则-Tn=a+2a+3a+(n-1)a+na,-得Tn=a+a+a+a+a-na=a-a,Tn=a-a.7.解:(1)bn为等差数列,设公差为d,b1=1,S5=15,来源:S5=5
9、+10d=15,d=1.bn=1+(n-1)1=n.设从第3行起,每行的公比都是q,且q0,a9=b4q2,4q2=16,q=2,1+2+3+9=45,故a50是数阵中第10行第5个数,而a50=b10q4=1024=160.(2)Sn=1+2+n=,Tn=+=+=2=2.8.解:(1)当n=1时,=4S1-2a1-1,即(a1-1)2=0,解得a1=1,当n=2时,=4S2-2a2-1=4a1+2a2-1=3+2a2,解得a2=3或a2=-1(舍去).(2)由已知=4Sn-2an-1,=4Sn+1-2an+1-1,-得=4an+1-2an+1+2an=2(an+1+an),来源:即(an+1-an)(an+1+an)=2(an+1+an).数列an各项均为正数,an+1+an0,an+1-an=2.数列an是首项为1,公差为2的等差数列,an=2n-1.(3)an=2n-1,a=(2an+2,m)=(2(2n+3),m)0,b=(-an+5,3+an)=(-(2n+9),2(n+1)0.又abab=0m(n+1)-(2n+3)(2n+9)=0m=4(n+1)+16+,m,nN*,n+1=7,m=47+16+1,即n=6,m=45.来源:当且仅当n=6,m=45时,ab.
