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1、克莱因瓶在数学领域中，克莱因瓶(Klein bottle)是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就 没有“内部”和“外部”之分。在拓扑学中，克莱因瓶(Klein Bottle)是一个不可定向的拓扑空 间。克莱因瓶最初由德国几何学大家菲立克斯克莱因(Felix Klein)提出。在1882年，著 名数学家菲立克斯克莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字命名的著名瓶子”。克莱因 瓶的结构可表述为：一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内 部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有边”，它的 表面不会终结。它和球面不同，一只苍蝇可以从瓶子
2、的内部直接飞到外部而不用穿过表面 (即它没有内外之分)。命名来源“克莱因瓶”这个名字的翻译其实是有些错误的，因为最初用德语命名时候名字中 Kleinsche Flache是克莱因平面的意思。因为翻译问题写成了 Flasche，这个词才是瓶 子的意思。不过不要紧，“瓶子”这个词用起来也非常合适。在1882年，著名数学家菲利克斯克莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字命名的 著名“瓶子”。这是一个像球面那样封闭的(也就是说没有边)曲面，但是它却只有一个面。 在图片上我们看到，克莱因瓶的确就像是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然 后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。
3、如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶 底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面(即环面)。描述克莱因瓶是一个不可定向的二维紧流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧流形。如果 观察克莱因瓶，有一点似乎令人困惑一一克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈 上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。我们可以把克莱因瓶放在四维空间中理解:克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表 现出来的曲面。如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，把它 表现得似乎是自己和自己相交一样。克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来 的，并不穿过瓶壁。用扭结来打比方，如果把它看作平面上的曲
4、线的话，那么它似乎自身相 交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线。它 并不和自己相交，而是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果 有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面 上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，我们可以把它理 解成处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不 把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成 自身相交的模样。有趣的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌
5、斯环。如果莫比乌斯带能够完美的展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话，克 莱因瓶只能作为展现一个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考。因为在制作莫比 乌斯带的过程中，我们要对纸带进行180翻转再首尾相连，这就是一个三维空间下的操作。 理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”应该是在二维面中，朝任意方向前进都可以 回到原点的模型，而克莱因瓶虽然在二维面上可以向任意方向无限前进。但是只有在两个特 定的方向上才会回到原点，并且只有在其中一个方向上，回到原点之前会经过一个逆向原 点”，真正理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型也应该是在二维面上朝任何方向前 进，都会先经过一
6、次“逆向原点”，再回到原点。而制作这个模型，则需要在四维空间上对三 维模型进行扭曲。数学中有一个重要分支叫拓扑学”，主要是研究几何图形连续改变形状时 的一些特征和规律的，克莱因瓶和莫比乌斯带变成了拓扑学中最有趣的问题之一。莫比乌斯 带的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。三维空间里的克莱因瓶。拓扑学的定义克莱因瓶定义为正方形区域0,1x0,1模掉等价关系(0,y)(1,y), 0WyW1和 (x,0)(1-x,1), 0WxW1。类似于Mobius Band,克莱因瓶不可定向。但Mobius带可嵌 入：】广，而克莱因瓶只能嵌入四维(或更高维)空间。制造经历过去，德国数学家克莱因就曾提出
7、了“不可能”设想，即拓扑学的大怪物一一克莱因瓶。 这种瓶子根本没有内、外之分，无论从什么地方穿透曲面，到达之处依然在瓶的外面，所以， 它本质上就是一个“有外无内”的古怪东西。尽管现代玻璃工业已经发展得非常先进，但是， 所谓的“克莱因瓶”却始终是大数学家克莱因先生脑子里头的“虚构物”，根本制造不出来。许 多国家的数学家老是想造它一个出来，作为献给国际数学家大会的礼物。然而，等待他们的 是一个失败接着一个失败。也有人认为，即使造不出玻璃制品，能造出一个纸模型也不错。 如果真的解决了这个问题，那可是个大收获！因此，在过去，人们普遍认为克莱因瓶是不可能嵌入三维空间中的。在三维空间中，克 莱因瓶必然跟自身相交，用数学的语言说，这样得到的克莱因瓶在三维中的实现是克莱因瓶 在三维空间中的浸入(immersion)。
