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1、北京专用高考数学一轮复习第三章与数及其应用第四节与数与函数的综合问题夯基提能作业本文A组基础题组1.若某商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x0),则获得最大年利润时的年产量为()A.1百万件B.2百万件C.3百万件D.4百万件2.(2014课标I,12,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是()A.(2,+8)b.(1,+oo)C.(-0,-2)D.(-0,-1)3.(2016北京朝阳期中)已知函数f(x尸alnx+E-(a+1)x.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间(2)当a
2、=-1时，证明f(x)4.(2018北京海淀期中)已知函数f(x尸x3-x,g(x)=2x-3.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)在0,2上的最大值；求证：存在唯一的Xo,使得f(x0)=g(x0).5.(2016北京海淀二模)已知f(x)=x3+ax2-a2x-1,a0.当a=2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式f(x)0在1,+8)上有解，求实数a的取值范围；(3)若存在x0既是函数f(x)的零点，又是函数f(x)的极值点，请写出此时a的值.(只需写出结论)B组提升题组16.(2017北京西城一模)已知函数f(x)=ex-5x2.
3、设l为曲线y=f(x)在点P(x。,f(x0)处的切线，其中xoC-1,1.(1)求直线l的方程(用x0表示)；(2)求直线l在y轴上的截距的取值范围；设直线y=a分别与曲线y=f(x)和射线y=x-1(xC0,+8)交于M,N两点，求|MN|的最小值及此时a的值.7.(2018北京海淀期末)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2.求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)求证：“a可上的最大值；(2)设bw。,求证：当a=-l时，过点P(b,-b)有且只有一条直线与曲线y=f(x)相切;1/2若对任意的xCJ,均有f(x)|x-1|0).若函数h(x)在(0,+8)上恰有2个
4、零点，求实数a的取值范围.答案精解精析A组基础题组1 .Cy=-3x2+27=-3(x+3)(x-3),当0x0;当x3时,y0,则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意.向号白则a0知，此时必有口40,即ax5-3X&|+10,化简得a24,又a0,所以a0.ax-(a+1)s+af(x)=K+x-(a+1)=x(武-D(x-二.当0a0,得x1或0xa,令f(x)0,得ax0,所以f(x)0恒成立.函数f(x)的单调递增区间是(0,+8).当a1时，令f(x)0,得xa或0x1,令f(x)0,得1x0,h(-1)h(1)0,所以函数h(x)在(-1,+ 8)上没有零点又 h(-3)=-15
5、0,所以函数h(x)在(- 8, -1)上有唯一零点x0.综上，在(- 8,+ OO)上存在唯一的x0,使得 f(x 0)=g(X 0).5 .女解析当a=2时,f(x)=x 3+2x2-4x-1,所以 f (x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2).12令 f (x)=0, 得 x1=、x2=-2,随着x的变化,f (x) 及f(x)的变化情况如下表(-2)-2(-4：f,(X)f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为,-2),单调递减区间为(2)要使f(x) 0,令f(x)=0,得xi=30,x2=-al或aw。,所以iwaw3.上单调递增，当：1,即a3时，f(x)在区
6、间,上单调递减，在所以f(x)在1,+8)上的最小值为所以有fd。,即加+5-N-1W0.匣解得a-“5,所以a3.综上,a1.(3)a=1.B组提升题组6.解析(1)对f(x)求导,得f(x)=ex-x,所以切线l的斜率为f(xc)=|e_-xo,由此得切线l的方程为y-1域鼠)(x-xo),12即y二(e-xo)x+(1-xo)e+上(2)由得，直线l在y轴上的截距为(1-xo1设g(x)=(1-x)ex+2x2,xC-1,1.所以g(x)=x(1-ex),令g(x)=o,得x=o.所以g(x),g(x)随x的变化情况如下表o(o,1)o-1x-1(-1,o)g(x)-21g(x)“、所以
7、函数g(x)在-1,1上单调递减，21所以g(x)ma尸g(-1)=已+2,g(x)min=g(1)=,rl2li所以直线l在y轴上的截距的取值范围是卜“2.过M作x轴的垂线，与射线y=x-1(xCo,+oo)交于点q,所以4MNQ是等腰直角三角形，所以 |MN|=|MQ|=I令h(x)=ex-2x2-x+1,x0,+8).所以h(x)=ex-x-1(x0).令k(x)=ex-x-1(x0),则k(x)=ex-10(x0),所以k(x)=h(x)在0,+8)上单调递增,所以h(x)h(0)=0,从而h(x)在0,+8)上单调递增,所以h(x)min=h(0)=2,此时M(0,1),N(2,1)
8、.所以|MN|的最小值为2,此时a=1.7. 解析(1)依题意，f(x)=xex+2ax,xCR,所以切线的斜率k=f(0)=0.又因为f(0)=-1,所以切线方程为y=-1.(2)证明：先证不必要性.当a=0时，f(x)=(x-1)ex,令f(x)=0,解得x=1.此时,f(x)有且只有一个零点，故f(x)有且只有一个零点，则a0”不成立.再证充分性.当a0,所以f(x)在R上单调递增.又因为f(0)=-10,所以f(x)有且只有一个零点.1(ii)当ln(-2a)0,即=a0时，f(x),f(x)随x的变化情况如下：(-,ln(-2a)ln(-2a)(ln(-2a),0)(0,+00f,(
9、x)f(x)极大值极小值当 xwo 时,(x-1)ex0,ax 20,所以 f(x)e2-20,所以 f(x)有且只有一个零点.(iii)当 ln(-2a)0,1即 a-,时,f(x), f ,(x)随x的变化情况如下：x(-8,0)0f (x)+0f(x)/极大值因为f(0)=-10,所以(0,ln(-2a)ln(-2a)极小值(ln(-2a),+ oxC(-oo,in( -2a)时，f(x)1.卜面证明当x1时,exx?设 g(x)= p(x1),贝U g,(x)=当 xC(1,2)时,g(x)0,g(x)在(1,2)上单调递增；当xC(2,+8)时，g(x)0,g(x)在(2,+8)上单调递减.所以当x=2时,g(x)取得极大值g(2)=/1时,g(x)1,即x20.由零点存在定理，知f(x)有且只有一个零点.综上，“a0”是“函数f(x)有且只有一个零点”的充分不必要条件令f(x)=0,得x=-1或x=1.
