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1、垂径定理（第一课时）教学设计兰甲明【教学内容】7.3垂径定理（初三几何课本P76P78）【教学目标】1. 知识目标：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； 掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题; 掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。2. 能力目标：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3. 情感目标：结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。教学难点】垂径定理的证明。教学方法】探究发现法。教具准备】自制的教具
2、、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规教学设计】一、实例导入，激疑引趣1. 实例：同学们都学过中国石拱桥这篇课文（初二语文第三册第一课茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。2. 导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离,也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少?通过
3、本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。(图1)二、尝试诱导，发现定理1复习过渡： 如图2(a)，弦AB将0分成几部分？各部分的名称是什么？ 如图2(b),将弦AB变成直径，O被分成的两部分各叫什么？2实验验证：让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴。3运动变换： 如图3(a),AB、CD是O的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ 如图3(b),当AB丄CD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？ 如图3(c),当AB向下平移，变成非直径的弦时
4、，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？4. 提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想板书)CD是圆O的直径CD丄弦AB,垂足为Ej”AEBD,ACBCADBD5. 验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为垂直于弦的直径。三、引导探究，证明定理1. 引导证明：猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”可利用圆的对称性证明。2归纳定理：根
5、据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3巩固定理：若适用，能得到什么结论。在下列图形(如图4(a)(d)中，AB是0的弦，CD是0的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由E是AB中点(a)AB丄CD于E向学生强调：0图7)B图4)(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。四、例题示范，变式练习1运用定理进行计算。例1如图5,在0中，若弦AB的长为8cm，圆心0到AB的距离为3cm,求0的半径。分析：因为已知“圆心0到AB的距离为3cm”所以要作辅助线0E丄AB；因为要求半径，所以还要连
6、结0A。解：(略)学生口述，教师板书。变式一在图5中，若0的半径为10cm，0E=6cm,则AB=思考一：若圆的半径为R,条弦长为a,圆心到弦的距离为d，则R、a、d三者之间的关系式是。变式二如图6,在0中，半径0C丄AB,垂足为E,若CE=2cm,AB=8cm,则0的半径=。思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？(由学生口述方法)2运用定理进行证明例2已知：如图7，在以0为圆心的两个同心圆中大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD。分析：证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？(证明0AC竺402。或证明0AD竺4020此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证
7、明？（垂径定理）证法一：连结OA、OB、OC、0D,用“三角形全等”证明。证法二：过点O作OE丄AB于E,用“垂径定理”证明。（详见课本P77例2）注1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。注2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。思考：在图7中，若AC=2,AB=10,则圆环的面积是变式一若将图7中的大圆隐去，还需什么条件，才能保证AC=BD？变式二若将图7中的小圆隐去，还需什么条件，才能保证AC=BD？变式三将图7变成图8（三个同心圆），你可以证明哪些线段相等？例3（选讲）如图9,RtABC中，ZACB=90。,AC=3,BC=62,以C为圆心、CA长为半径画弧，交斜边AB于D,求AD的长。（答案：2）略解：过点C作CE丄AB于E,先用勾股定理求得图8)AB=9,再用面积法求得CE=22，最后用勾股定理求得AE=1,由垂径定理得AD=2。五、师生小结，纳入系统1定理的三种基本图形如图10、11、12。2.计算中三个量的关系如图13,R2=d2（2）2o3证明中常用的辅助线过圆心作弦的垂线段。图15)六、达标检测，反馈效果1.（课本P78练习第1题）如图14,在O的半径为50mm,弦AB=50mm,则点O到AB的距离为,ZAOB=度。2. 作图题：经过已知O内的已知点A作弦,使它以点A为中点（如图15）。3. 课本P78练习第2题。
