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1、 第2讲 函数的单调性与最值一、选择题1下列函数中,既是偶函数又在(0,)内单调递减的函数是()Ayx2 By|x|1Cylg|x| Dy2|x|解析对于C中函数,当x0时,ylg x,故为(0,)上的减函数,且ylg |x|为偶函数答案C2已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f(|x|)f(1)的实数x的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(,1)(1,)解析f(x)在R上为减函数且f(|x|)f(1),|x|1,解得x1或x1.答案D3若函数yax与y在(0,)上都是减函数,则yax2bx在(0,)上是()A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增解析 yax
2、与y在(0,)上都是减函数,a0,b0,yax2bx的对称轴方程x0,yax2bx在(0,)上为减函数答案 B4设函数f(x)g(x)x2f(x1),则函数g(x)的递减区间是 ()A(,0 B0,1)C1,) D1,0解析g(x)如图所示,其递减区间是0,1)故选B.答案B5函数yx22x3(x0)的单调增区间是()A(0,) B(,1C(,0) D(,1解析二次函数的对称轴为x1,又因为二次项系数为负数,拋物线开口向下,对称轴在定义域的右侧,所以其单调增区间为(,0)答案C6设函数yf(x)在(,)内有定义,对于给定的正数K,定义函数fK(x)取函数f(x)2|x|,当K时,函数fK(x)
3、的单调递增区间为 ()A(,0) B(0,) C(,1) D(1,)解析f(x)f(x)f(x)的图象如右图所示,因此f(x)的单调递增区间为(,1)答案C二、填空题7设函数yx22x,x2,a,若函数的最小值为g(a),则g(a)_.解析函数yx22x(x1)21,对称轴为直线x1.当2a0)对于下列命题:函数f(x)的最小值是1;函数f(x)在R上是单调函数;若f(x)0在上恒成立,则a的取值范围是a1;对任意的x10,x20且x1x2,恒有f0在上恒成立,则2a10,a1,故正确;由图象可知在(,0)上对任意的x10,x20且x1x2,恒有f0且a1)的单调区间解 当a1时,函数ya1x
4、2在区间0,)上是减函数,在区间(,0上是增函数;当0ax12,则f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a,由x2x12,得x1x2(x1x2)16,x1x20.要使f(x)在区间2,)上是增函数,只需f(x1)f(x2)0恒成立,则a16.13已知函数f(x)a2xb3x,其中常数a,b满足ab0.(1)若ab0,判断函数f(x)的单调性;(2)若abf(x)时的x的取值范围解(1)当a0,b0时,因为a2x,b3x都单调递增,所以函数f(x)单调递增;当a0,b0.(i)当a0时,x,解得xlog;(ii)当a0,b0时,x,解得x0时,f(x)1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)5,解不等式f(3m2m2)3.解 (1)证明设x1,x2R,且x10,f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.f(x2)f(x1)即f(x)是R上的增函数(2)f(4)f(22)f(2)f(2)15,f(2)3,原不等式可化为f(3m2m2)f(2),f(x)是R上的增函数,3m2m22,解得1m,故解集为.