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1、一、填空题1由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是_解析：只有正确，其余错误答案：22请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足aa1，那么a1a2.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1，因为对一切实数x，恒有f(x)0，所以0，从而得4(a1a2
2、)280，所以a1a2.根据上述证明方法，若n个正实数满足aaa1时，你能得到的结论为_(不必证明)解析：设g(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)x1，g(x)0对xR恒成立，4(a1a2an)24n0，a1a2an.答案：a1a2an3如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来，第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来，如此类推设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为an，则a6_；_.解析：ann(n1)，a66742.答案：424对于等差数列an，有如下命题：“若an是等差数列，a10，s、t是互不相等的正整数，则有(s1)at(t1)as”类比此命题，
3、给出等比数列bn相应的一个正确命题：“_.”答案：若bn是等比数列，b11，s，t是互不相等的正整数，则有bb5如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第7行第4个数(从左往右数)为_解析：由“第n行有n个数且两端的数均为”可知，第7行第1个数为，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为，同理易知，第7行第3个数为，第7行第4个数为.答案：6观察下列等式：324252，102112122132142，212222232242252262272，36237238
4、2392402412422432442，由此得到第n(nN*)个等式为_解析：由归纳推理直接写出即可答案：(2n2n)2(2n2n1)2(2n2nn)2(2n22n1)2(2n22n2)2(2n22nn)27两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sin()0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sin()s in()0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为_解析：类比推理可知，四点等分单位圆时，与的终边互为反向延长线，与的终边互为反向延长线，如图答案：sin sin()sin()sin()08已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2”
5、若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则_.解析：由题知，O为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h，由等体积法可求内切球半径为h，外接球半径为h，所以3.答案：39.正方形ABCD的边长是a，依次连结正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连结新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段则这10条线段的长度的平方和是_解析：由
6、题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a(a)2a2，第二段长度的平方为a(a)2a2，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以aa2为首项，为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S10a2.答案：a2二、解答题10通过观察下列等式，猜想出一个一般性结论，并证明结论的真假sin230sin290sin2150；sin260sin2120sin2180；sin245sin2105sin2165；sin215sin275sin2135.解析：猜想：sin2()sin2sin2().证明：左(sin coscos sin)2sin2(sin coscos sin)2(sin2cos2)右，待
7、证式成立11圆x2y2R2(R0)上任一点P(不在x轴上)，与圆上两点A (R,0)，B(R,0)的连线PA，PB的斜率kPA，kPB有下面的等式成立：kPAkPB1，类比这个命题，写出椭圆1(ab0)中对应的命题，并加以证明解析：命题：对椭圆1(ab0)上任一点P(不在x轴上)，与椭圆上两点A(a,0)，B(a,0)的连线PA，PB的斜率kPA，kPB有下面的等式成立：kPAkPB.证明：设P(x，y)，则有1，kPA，kPB，kPAkPB(1).12小朋用第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”摆出如图(1)、(2)、(3)、(4)这四个图案，现按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”(1)试写出f(5)、f(6)的值；(2)归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并求出f(n)的表达式；(3)求证：.解析：(1)f(5)13579753141，f(6)13579119753161.(2)因为f(2)f(1)314，f(3)f(2)538，f(4)f(3)7512，归纳得f(n)f(n1)4(n1)，则f(n1)f(n)4n.f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)4(n1)(n2)2112n22n1.(3)证明：当k2时，()则1(1)()()1(1)1.
