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1、出处：IEEE TRANSACTION OF FUZZY SYSTEMS,1996,4(1): 14-23.非线性模糊控制系统稳定及设计问题的解决方法摘要: 本文针对一类非线性系统稳定性问题提出一个设计方案。首先，用T-S模糊模型来描述一个非线性对象。然后，应用所谓的“并行分布补偿”的概念设计一个基于模型的模糊控制器。控制器设计的主要思想是导出每条控制规则，以便对模糊系统的每条规则进行补偿。该设计步骤在概念上简洁自然。而且，稳定性分析和控制器设计问题都可以归纳为线性矩阵不等式问题（LMI）。因此，这些问题可以应用线性矩阵不等式的凸规划方法进行有效解决。文中将该设计方法将应用在小车倒立摆平衡和起
2、摆的这一实际问题上。1介绍近年来，人们对模糊控制的兴趣日益升温，并且这种控制方法已有许多成功的应用典范。尽管取得这些成就，但是很明显，模糊控制的一些基本问题仍需深入解决。而系统设计和稳定性分析无疑是这些问题中的重点。最近，在这方面已取得了重要的研究成果1-6。本文尝试为一类模糊非线性系统提出一种系统设计方法。对于非线性系统已有许多控制方法。典型的方法是反馈稳定非线性系统法，在该系统中设计一个线性反馈控制以用来将系统中的不定参数工作点线性化。然而，这种方法一般只是得到一个局部性结果。其他方法14如反馈线性化控制是十分复杂的，往往导致所得出的控制器很复杂。在这篇文章中提出一种概念上简单而且直观的非
3、局部方法。线性反馈控制方法可以应用在反馈镇定的实例中。步骤如下：首先提出一个T-S模糊模型表示的非线性对象，在这种模糊模型中，不同状态太空间区域的局部动态特性由线性模型表示。系统的整体模型可由这些线性模型进行模糊化混合而得到。即这种控制设计是由基于所谓的并行分布补偿方案的模糊模型所实现的。这种思想就是针对每一个局部线性模型都设计一个线性反馈控制，控制器的整体结果是由每个单独的线性控制器进行模糊混合而成，这样的控制器一般来说是非线性的。这篇文章以模糊控制非线性系统的方法处理稳定和设计问题。模糊模型和模糊控制系统的稳定条件都已给出。该设计步骤旨在提出稳定的模糊控制器设计法。更重要的是，稳定性分析和
4、控制器设计问题都可归纳为线性矩阵不等式问题。在数值上LMI问题可以用过一些功能强大的数学工具得以有效地解决。这些数学工具可以在数学规划类文献中索引。因此，将稳定性分析与控制器设计问题作为LMI问题重述相当于为解决根源问题提供了方法。以LMI问题重述模糊控制系统的稳定和设计问题首先是11-12中提出的。为了说明这种设计方法，将其应用在小车倒立摆的平衡与起摆问题上。本文的结构如下：主要结论在第二部分提出，T-S模糊模型分析在第二部分A中提出。在第二部分B中，将控制器设计看成并行分布补偿问题。在第二部分C中，包含对LMI的介绍以及用LMI方法对模糊控制稳定性分析和设计结果进行讨论。在第三部分中用一个
5、详细的例子加以说明，即小车倒立摆的起摆和平衡问题。第四部分得出结论。2稳定性分析 并行分布补偿和线性矩阵不等式为了简洁，本文只给出离散系统的结果。但该结果对于变动不大的连续系统仍然适用。为了说明设计步骤，我们把这一结论应用在倒立摆平衡问题上，该系统为连续系统。在建议性的设计步骤中，首先以一个T-S模糊模型给出一个非线性对象，这个模糊模型简洁自然。系统的动态特性由一系列在动态空间具有局部连续的一套模糊蕴含（规则）得到。T-S模糊模型的主要特点是用一个线性系统来表达每条模糊规则的局部动态特性。整个系统的模糊模型由线性模糊模型混合而成。特别地，T-S模糊系统由if-then模糊语句来描述，这些语句代
6、表局部的线性输入输出。模糊系统的形式如下：规则 i：IF 为 且为 THEN =+其中 i=1,2,r且r是IF-THEN则的数量。是模糊集合，且为第i条输出的IF-THEN规则。给定一对，模糊系统的最终输出推导如下 (1)开环系统（1）为 (2)假设对于所有的 k 使每个线性分量叫做一个A 用李雅普诺夫方法进行稳定性分析为保证（2）式稳定，由高木关野2推导的稳定充分条件如下给出：定理12：模糊系统大范围线性稳定条件即存在任意正定矩阵P满足 (3)而这个任意正定矩阵P必须存子系统中。 这个定理推导出了当r=1时离散线性系统的李雅普诺夫稳定定理。定理1的稳定条件由一个二次型函数 所导出。如果存在
7、一P0，这样证明了系统（2）式的稳定性。系统（2）也被称作二次型李雅普诺夫函数。这样，定理1表明了系统（2）的充分条件。通常认为不存在一个系统的步骤方法来找出一个任意正定矩阵P来证明模糊系统（2）的稳定性。多数情况下使用试凑法2。在10中给出了一个构建二阶模糊系统的步骤（状态维数n=2）。本文提出对于找任意正定矩阵P的问题可以由LMI中的凸优化技巧有效的解决15。用LMI问题表达定理1的稳定条件。为检查稳定性，需要找到一个P矩阵或说明这样的P不存在。这就是一个LMI问题（详见第二部分C中关于LMI及其相关方法分析和模糊控制系统设计）在数值方面LMI问题可以由一些强大的工具来解决，这些工具可以在
8、数学规划类文献中检索到。例如，最近发展的内点法16，其在实践中的应用相当有效。关于系统（2）自然会产生这个问题：如果它的所有子系统都稳定（即所有都稳定）那么这个系统是否稳定。这个问题的答案通常是否定的，通过以下例子可以说明。例1：考虑模糊系统： 规则1： IF 为（如小） THEN 规则2: IF 为（如大）， THEN 其中： 并且 图1表示了 的隶属度函数。 图1 例1的隶属度函数 图2 例1 的响应（a=1）由于和是稳定的，所以线性子系统稳定。然而，对于某些初始条件该模糊系统可能不稳定。正如图2所示初始条件时的响应。需要说明的是，该模糊系统在仅0的临域是稳定的（这也表明该模糊系统是局稳定
9、的）。由于不稳定，显然不存在矩阵P0. 这从是从分析上得到，而且该结果也可以通过涉及LMI的最优算法在数值上表示。存在一个有趣的问题，即在什么初始条件下，模糊系统稳定（或不稳定），这由研究吸引域的根源决定。图三展示了对于a=1时的吸引域。黑色部分表示不稳定区域（水平轴是）。它形象地表示了吸引域随隶属度函数不同而变化。该例子说明吸引域是如何变化的。 图3（b）（c）（d）表示了a不同取值所对应的吸引域。可以看出，随a从1一直减小，吸引域也在变小。因此模糊系统的吸引域与隶属度函数有关。在所举例子中当a=时，模糊系统变为：，这是全局线性渐进稳定的。 （a） （b） （c） （d）图3 例1的吸引域
10、（a）a=1, （b）a=0.5 （c）a=0.25 （d）a=2.0关于这个特殊的例子可以用一个有趣的解释来说明吸引域与隶属度函数有关。当推理过程变得更为模糊时（精确），更为模糊的决策导致更大的吸引域，而更为精确的决策导致更小的吸引域。此例说明，当我们选择模糊规则和隶属度函数时，必须将稳定性问题考虑进去。如何系统地选择规则和隶属度函数以保证满足所描述的稳定特性，是一个有趣的话题。在下一小段中，我们将用并行分布补偿来考虑控制器设计问题。B 并行分布补偿应用并行分布补偿（PDC）概念来设计稳定模糊系统的控制器。该思想是为模糊系统的每条规则做补偿。图4说明了PDC的设计概念。整个控制器是每个单独线
11、性控制器混合而成的，一般来说是非线性的。控制器与模糊控制系统（1）有相同的模糊集。规则i: IF 是且是 THEN 其中 。这样模糊控制器为 (4)注意：模糊控制器（4）一般是非线性的。把（4）代入（1）是可得 (5)当应用定理1时我们有如下的稳定充分条件。 图4 并行分布补偿设计（PDC） 定理2：模糊控制系统（5）大范围渐进稳定的条件是，存在一个正定矩阵P满足 对于 (6)注意系统(5)也可以写作 (7)其中 定理3：模糊控制系统（5）大范围渐进稳定的条件是，存在一个正定矩阵P满足 (8) (9)控制器的设计是选择，以便满足定理三中（8）（9）的2条件。应用二次型稳定的概念，我们也可以把控制器设计问题看成找到，这样闭环系统为二次型稳定。如果这样的存在，就可以说该系统是由PDC设计的二次型稳定。一般来说，首先为每条规则设计出一个控制器。然后再检查稳定条件是否满足。用LMI凸规划技巧来解决稳定性分析问题。如果稳定条件不满足，必须重新设计（参见第二部分）即LMI如何可以直接用来解决控制器设计问题）。控制器设计问题可以从分析上解决。这里，注意一些特殊的例子。假设（）可控。 如果（）选择使 (10)这里G是赫
