分块矩阵的应用论文

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1、分块矩阵的应用引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一

2、样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设、都是阶矩阵，其中，并且，则可求得；分块矩阵也可以在求解线性方程组应用.本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很

3、大的便利. 1 分块矩阵的定义及相关运算性质1.1分块矩阵的定义矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.定义1设是一个矩阵，若用若干横线条将它分成块，再用若干纵线条将它分成块，于是有块的分块矩阵，即，其中表示的是一个矩阵.1.2分块矩阵的相关运算性质1.2.1加法设，用同样的方法对进行分块， 其中，的级数相同，则 .1.2.2数乘设是任为任意数，定义分块矩阵与的数乘为1.2.3乘法设分块为，其中是矩阵，是矩阵，定义分块矩阵和的乘积为.、1.2.4转置设分块为，定义分块矩阵的转置为1.2.5分块矩阵的初等变换分

4、块矩阵的下列三种变换称为初等行变换：(1) 对调的两行(用表示对调、两行)；(2) 用一个可逆阵左乘的某一行的所有子矩阵(用表示用左乘第行)；(3) 将的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵再加到另一行的对应子矩阵上去(表示将第行左乘再加到第行).将上述定义中的“行”换成“列”,“左乘”换成“右乘”, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.2 分块矩阵的应用2.1用分块矩阵解决行列式的问题利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一, 但通常所用的高等代数教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格, 多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一

5、个应用围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法.引理2.1(3)若为阶方阵，为阶方阵，为矩阵, 则有在上述引理中,要求子块当中有一个为零矩阵, 更一般的有如下的结论. 定理2.2(3)若阶方阵可分为 其中为阶方阵, 为矩阵, 为矩阵, 为阶方阵, 则有（1）当为可逆矩时； （2）当为可逆矩阵时.在进行行列式的求值运算时, 若能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法, 就可应用定理的结论进行行列式的计算, 现举例说明如下：例2.3 计算行列式 其中.解 设 ，则为可逆矩阵，由定理1的结论（2）知 ，将 及代入得 .例2.4 矩阵，求行列式的值.解：行列式的主对角线元素为，其余元素为，因此：（1）当时，

6、由行列式的性质知=0；（2）当时，从第一行开始，将行列式的前行减去后行得，令 由定理2.2可知 ，而 ，计算结果得 .若定理中的矩阵和均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可以利用公式进行转换求行列式的值，举例说明如下.推论2.5 若均为阶方阵，且可逆，则 .例2.6 计算行列式 .解 对T进行分块，其中 显然可逆，且，所以，而 ，所以， . 定理2.7 若均为阶方阵，则.例2.8 计算行列式 .解 对矩阵进行分块，其中 由于 ，所以 .2.2 分块矩阵在解线性方程组中的应用例2.9设个未知数个方程的线性方程组为 （1）记,（其中表示矩阵的转置）, ,则方程（1）的矩阵形式为 .把方程（1）的

7、矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式，其中， ， ，方程组（1）有解时，我们解方程组（1）时总是把（1）化成简单的同解方程组，从而求出其解.定理2.10. 设方程组（1）有解且，则方程组与同解.例2.11已知方程组 （2）求此方程组的解并证明此方程组和方程组 （3）同解.解：令，其中，所以此方程组的齐次线性方程组的解为，又是方程组的一个特解，所以此方程组的解为 ，由上可知并且，所以由定理3可证方程组（2）和（3）同解.2.3分块矩阵在相似问题中的应用 定理2.12.如果方阵，方阵，则.证明 因为方阵，方阵，所以 ，而 ，所以 .2.4用分块矩阵证明矩阵秩的问题定理2.13.设,为矩阵，为矩阵，则有

8、，且时， 证明 设在初等变换下的标准形为，又设在初等变换下的标准形为 ，那么，对前行前列作初等变换，对它的后行后l列也作初等变换可把化为，现在利用左上角的1经列初等变换消去位置中的非零元；再用左上角的1经行初等变换消去它上面处的非零元素，于是把再化作，则有 .利用这个定理及初等变换可证明一些秩的不等式.例2.14. 设为矩阵，为矩阵，若，则.证明 因为，所以 .例2.15. 设、都是阶矩阵，求证：.证明：因为 ，所以 ，又，都可逆，所以 ，而 又 ，所以 .2.5 用分块矩阵求逆矩阵的问题分块矩阵是高等代数中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中的应用尤为广泛.求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初

9、等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用.定理2.16. 对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得 那么矩阵称为可逆矩阵，而称为的逆矩阵.若都可逆，则 ,其中.以下举些例子具体说明分块矩阵在矩阵求逆中的具体应用.例2.17. 已知矩阵，求.解：可以将矩阵分成四块，其中，根据分块矩阵的性质，而，为二级矩阵，其逆矩阵易求出，分别为 ，所以 2.6 分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的容，特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分

10、块去解决，这样可以使问题的解决更简明.定理2.18. 设 为阶矩阵，是一个数，如方程,存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为与特征值对应的特征向量.定理2.19.设为阶矩阵，含有未知量的矩阵称为 的特征矩阵，其行列式为的次多项式，称为 的特征多项式称为的特征方程，是矩阵的一个特征值，则一定是的根，因此又称为特征根.若是的重根，则称为的重特征值.引理2.20.设为阶矩阵，则为幂等矩阵的充要条件，这里为阶单位矩阵，表示的秩.引理2.21.幂等矩阵 与 或相似，其中.例2.22. 设均为阶方阵，且，求证：若，则的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等.证明：（1）当可逆时，即，因

11、为，所以，又 ， 由已知得，由引理2.20得到.同理，所以，是幂等矩阵，由引理2.21得， 和，有相同的特征根，所以的特征值为1或0，且特征值1的个数和它们的秩相等.（2）当时，即，结论显然成立.（3）设，即为非零由布可逆矩阵，又因为，故存在可逆矩阵使， 令 这里 ，所以 ，从而 ，又因为 ，从而 ，这样，且，由定理2.18的证明可知，存在可逆矩阵，使 ， ，设 ，又因为，所以，设 ，同上可得， ，故，又，从而，同理 ，故有 ，综上所述,结论成立.小结 本文通过例题对分块矩阵在证明和计算中两方面的应用进行了总结分析，在证明方面涉及了矩阵秩的相关问题和矩阵列行向量线性相关性问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵的解可以很清晰动的描述线性方程组的解和相关容，对一些具体的解与矩阵行列相关性之间的关系做出了总结；在分块矩阵计算方面我们主要解决了求逆矩阵与高级行列式的问题.通过本文的叙述充分体现了分块矩阵在代数计算和证明方面的优越，也给出了分块矩阵在线性代数中所具有的重要地位，当然在分块矩阵的应用的叙述中，本文并不是对所有的证明和计算都进行讨论，所以在应用的完整性上有待改进，并可以继续进行探讨和研究. 参考文献1 蓝以中.高等代数简明教程M.：大学，2007：141-149.2 杜之,丽,吴曦.线性代数M.：西南财经大学，2003