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1、第5 讲 同余的概念和性质解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示 为：a三b ( modm ).性质1:若a三b ( mod m ), b三c ( mod m )，那么a三c ( mod m),(传递性)。性质 2 :若 a三b ( mod m ), cd ( mod m )，那么 ac三b士d ( mod m),(可加减性)。性质 3 :若 a三b ( mod m ), c三d ( mod m )，那么 ac三bd ( mod m )(可乘性)。性质4:若a三b ( mod m),那
2、么an三bn ( mod m),(其中n为自然数)。性质 5 :若 ac三be ( mod m),(c,m)=1,那么 a三b ( mod m),(记号(c,m )表示 c 与m的最大公约数)。例 1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？例2求乘积418x814x1616除以13所得的余数。例3 求14389除以7的余数。例 4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？如秒匱U秒園更例5设自然数讯=乱凤-1其申昕盯 切，务分别是个世,
3、十位，上的数码，再设M = a + a +. + a，求证：N三M ( mod 9 )0 0 n例 6 求自然数2100 + 3101+ 4102 的个位数字。习题1验证对于任意整数a、b,式子a三b ( modi)成立，并说出它的含义。2已知自然数a、b、c，其中c3 , a除以c余1, b除以c余2,则ab除以c余多少？3.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？4求 33335555 + 55553333被 7 除的余数。5所有自然数如下图排列问300位于哪个字母下面？血3 C匸E卩G7：二765S9 1D1114 1312It 1G 19934-16数，被13除余多少？
4、7求1993100的个位数字.第五讲 同余的概念和性质你会解答下面的问题吗？问题1 :今天是星期日，再过15天就是“六一”儿童节了，问“六一”儿童节是星 期几？这个问题并不难答因为，一个星期有7天，而15三7=2.1,即15二7x2 + 1,所以 /II 11 三匸+1- 曰 曰 甘口八一 儿童节是星期一。问题2 : 1993年的元旦是星期五， 1994年的元旦是星期几？这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7x52 + 1,所以1994年 的元旦应该是星期六。问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注 意两个整数用某一固定的自然数去除，
5、所得的余数问题.这样就产生了 “同余的概念如问 题1、2中的15 与365除以7后,余数都是1,那么我们就说15与365 对于模7同余。同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同 余,用式子表示为:a三b ( modm ). (*)上式可读作：a同余于b,模m。同余式(* )意味着(我们假设ab ):a-b=mk , k是整数,即 m|(a-b).例如： 15三365 ( mod7 )，因为 365-15 = 350=7x50。 56三20(mod9),因为 56-20=36 二 9x4。 90=0 ( mod10 ),因为 90-0 二 90=10x9。由例我
6、们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a三0( modm )。例如，表示a是一个偶数，可以写a=0(mod 2)表示b是一个奇数，可以写b=1(mod 2)补充定义：若m* ( a-b )，就说a、b对模m不同余，用式子表示是：a去b ( modm )我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质(其中a、b、c、d是整数，而m是自然数)。性质1：a=a( mod m),(反身性)这个性质很显然因为a-a=0二m0。性质 2 :若 a=b ( mod m )，那么 b=a ( mod m),(对称性)。性质 3 :若 a=b ( mod
7、m ), b=c ( mod m )，那么 a=c ( mod m),(传递性)。性质 4 :若 a三b ( mod m ), c=d ( mod m )，那么 a士c三b士d ( mod m),(可 加减性)。性质 5 :若 a三b ( mod m ), c=d ( mod m )，那么 ac=bd ( mod m )(可乘性)。性质6 :若a三b ( mod m )，那么an三bn ( mod m),(其中n为自然数)。性质 7 :若 ac=bc ( mod m),(c,m)=1,那么 a三b ( mod m),(记号(c , m )表示c与m的最大公约数)。注意同余式性质7的条件(c,m
8、)二1,否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。例如 6=10 ( mod 4 ),而 3 吉5 ( mod 4 )，因为(2,4)h1。请你自己举些例子验证上面的性质。同余是研究自然数的性质的基本概念,是可除性的符号语言。例1 判定288和214对于模37是否同余,74与20呢？解：288-214=74=37x2。288三214 ( mod37 )。74-20=54，而 37*54 ,74粪20 ( mod37 )。例 2求乘积418x814x1616除以13所得的余数。分析 若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计 算量。解：t418三2 ( mod13
9、),814=8 ( mod13 ), 1616三4 ( mod13 ),根据同余的性质5可得：418x814x1616=2x8x4=64=12 ( mod13 )。答：乘积418x814x1616除以13余数是12。例3 求14389除以7的余数。分析 同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小. 这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。解法 1 : 143三3 ( mod7 )14389三 389 ( mod 7 ).89 二 64+16+8+1而 32=2 ( mod 7 ),34=4(mod7)，38=16=2(mod
10、7)，316=4（mod 7），3 32三16三2 ( mod 7 ),364=4 ( mod 7 )。v389=364316383=4x4x2x3=5 ( mod 7 ), .14389三5 ( mod 7 )。答：14389除以7的余数是5。解法2 :证得14389三389 ( mod 7)后，36三32x34三2x4三1( mod 7 ),384=( 36)14=1 ( mod 7)。.389三384343三1x4x3三5 ( mod 7)。.14389三5 ( mod 7 )。例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色
11、，第三次又上下两灯互换颜色，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？駆亠駆-g IM1Sj30秒匮圄HO利T蓋!红| 弄始第1诙 第二决分析 与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120x30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120三0mod 4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。例5设自然数其中昕对、衍、，细分别是令仏 十位，上的数码，再设M二aO + a1 + . + an，求证：N三M ( mod 9 )。 分析首先把整数N改写成关于10的幕的形式，然后利用10=1 (mod 9)。证明：T川
12、二石亍亩=盂求 100 -1000+- - - +axlb+a=% X 1曙X 10小+內X 10+a0又 1=1 ( mod 9 ),10=1(mod 9)，102=1(mod 9)，10 =1(mod 9)，n上面这些同余式两边分别同乘以a、a、a a，再相加得:012na +a x10+a x102+.+a x100122n n三a +a +a +. + a ( mod 9 ),012n即 N=M(mod 9).这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这 个和被9除的余数即
13、可。例如，求1827496被9除的余数，只要先求(1+827496)，再求和被9 除的余数。再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中18，2+7，9 被9除都余0，求余数时可不予考虑.这样只需求46被9除的余数.因此，1827496被9 除余数是1。有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种 检查方法叫：弃九法。弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。用弃九法检验乘式5483x9117三49888511是否正确？因为 5483三5+4 + 8 + 3三11三2(mod 9),9117三9 + 1 + 1 + 7三0 ( mod 9 ),
14、所以 5483x9117三2x0三0( mod 9 )。但是 49888511三4+9 + 8+8+8 + 5 + 1+1=8 ( mod9 ),所以5483x9117/49888511 ,即乘积不正确。要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。例如，9875三9 + 8+7+5三2(mod 9),4873三4 + 8 + 7 + 3三4(mod 9),32475689三3+2+4+7 + 5+6+8+9=8 ( mod 9 ),这时，9875x4873三2x4三32475689 ( mod 9 )。但观察个位数字立刻可以判定9875x4873/32475689.因为末
15、位数字5和3相乘不 可能等于9。弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。例 6 用弃九法检验下面的计算是否正确：233724587312二3544。解：把除式转化为：3544x7312二23372458。v 3544=3 + 5+4 + 4=7 ( mod 9),7312=7+3+1+2=4(mod 9), 3544x7312=7x4=1 ( mod 9),但 23372458=2+3+3+8=7(mod 9)。而 17 ( mod 9 ) 3544x7312/23372458 ,即 233724587312/3544。例 7 求自然数210031014102的个位数字。分析 求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题解:.Zoo三24x25三625三6 (
