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1、章末检测试卷(三)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.已知 a= ( 3,2,5), b= (1 , x, - 1)，且 a b= 2，贝U x 的值是答案 5解析.ab= 3 + 2x 5 = 2,x= 5.2.如图，在空间四边形 OABC中，0A = a, OB= b, OC = c,点M在OA上，且OM = 2MA ,点N为BC的中点，贝U MN =.(用a, b, c表示)R N C2 11答案 -a +尹+ c解析 如图，连结ON,由向量的加法法则，可知 MN = MO + ON=|oA + 2(OB+ OC)= |a + 2(b
2、+ c)2a + 和+ 2c.3.设i, j, k为单位正交基底，已知a = 3i + 2j k, b= i j+ 2k,则5a 3b=答案 -15解析 .a = (3,2 , 1), b= (1 , 1,2), A5a 3b= 15a b= 15.4.设平面a,B的法向量分别为U= (1,2, 2), v = ( 3, 6, 6)，贝U a, B的位置关系为考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面平行答案平行或重合解析平面 a, B的法向量分别为U = (1,2, 2), v = ( 3, 6,6)，满足 v = 3 U,.a/B或重合.5. 若空间向量 a, b满足|a|= |
3、b|= 1，且a与b的夹角为60 贝U a a+ a b=.3答案3解析 由空间向量数量积的性质，知a a= |a|2= 1.由空间向量数量积的定义，得1a b= |a|b|cosa, b= 1 x 1 x cos60 = 2,13从而 a a+ a b= 1 + =2*6. A, B, C, D是空间不共面的四点，且满足 AB AC= 0, AC AD = 0, AB AD = 0, M为BC中点，则 AMD为三角形.答案直角解析-M为BC中点，f 1 f fAM = 2（AB+ AC）.f f 1 f f fAM AD = 2（AB + AC） AD1 f f 1 f f=2ab ad+a
4、c ad = 0.AM 1AD , AMD为直角三角形.AC = CB= 1, PC = 2,如图，建立空间直7在三棱锥 P ABC中，CP, CA, CB两两垂直,角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是（填序号） 1, 1, 1 :(1, 21):(1,1,1):(2, 2,1).答案解析 由题意知，C(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), P(0,0,2)，则 PA= (1,0 , - 2), AB = (- 1,1,0),设平面PAB的一个法向量为 n= (x, y,1),x-2=0,x = 2,则解得x + y= 0,y = 2,n = (2,2,1).又1,
5、 1, 2 = ?n，正确.&已知 Rt ABC中，/ C = 90 / B= 30 AB= 4, D为AB的中点，沿中线将 ACD折起使得AB=(13，则二面角A- CD - B的大小为 .答案 120解析 如图，取CD中点E,在平面BCD内过点B作BF JCD，交CD延长线于点F.据题意知AE JCD ,AE = BF = 3, EF = 2, AB =13.且EA, fb为二面角的平面角，由 Ab2= (Ae+ Ef + FB)2 得13= 3+ 3 + 4 + 2X 3X cosAE, FB,t t1cos EA, FB =,又EA, FB 0 180, EA, FB = 120即所求
6、的二面角为1209如图，在空间四边形 ABCD中，AC和BD为对角线，G ABC的重心，E是BD上一点,BE = 3ED，若以AB, AC,E1 f 1 f . 3 f1 f 13AB3答案 12AB 3AC + 4AD:f f f f f 2 f f 1 f 1 f f f 1 f 1 解析 GE= AE AG = AD + DE 3AM = AD + 4DB (AB + AC) = AD + AB 才-1 - 1 - 3 fAC = 12AB AC + 4AD.10如图，在平行六面体 ABCD A B C D中，AB = 8, AD = 6, AA= 8,/ BAD = ZBAA =/ D
7、AA = 60 贝 U AC 的长为 答案 18 - - - 解析 VAC = AC+ CC= AB + AD + AA, 2 2 2 22 - |AC|2= (AB+ AD + AA)2= |AB|2 + |AD|2 + |AA|2 + 2(AB AD + AB -AA + AD -AA)2 2 2=82 + 62 + 82 + 2X (24 + 32 + 24) = 324,|A(y |= .324= 18.11.如图，S是正三角形 ABC所在平面外一点，M ,N分别是AB和SC的中点，SA= SB= SC, 且/ ASB=/ BSC=/ CSA= 90,则异面直线 SM与BN所成角的余弦
8、值为 .解析 不妨设SA= SB= SC= 1,以点S为坐标原点，SA, SB, SC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系S xyz,则相关各点坐标为 A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), S(0,0,0),M 2，2, 0 , N 0, 0, 2 .因为 SM= 2， 2， 0 ，BN =1，2，所以 |SM|=，|BN =SM BN = 1, cossM,晶一题匹|SM| |BN|因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.105 .所以 QAqB = 6卡一16 H 10= 6入-3 2- 3,12.如图所示，已知二面角a
9、 l的平面角为0 0 0, n , AB丄 BC, BC 丄 CD, AB 在平面 3内，BC在I上，CD在平面 a内，若 AB= BC = CD = 1,贝U AD的长为答案3-2cos0所以 Ad2 = Ab2 + Be2+ Cd2+ 2Ab解析因为AD = AB+ BC + CD ,CD + 2AB BC + 2BC CD = 1+ 1 + 1 + 2cos( n- a = 3 2cos a所以 |AD|= 3 2cos 0,即AD的长为-3 2cosa13.已知 OA= (1,2,3) , OB= (2,1,2),OP = (1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时
10、，点Q的坐标为解析设Q(x, y, z)，因为Q在OP上，故有OQ /OP,设0Q = QP(入ER)，可得x=人y=入z= 2入则Q(入入2为,QA= (1入2 人3 2为,QB = (2 人 1 人 2 2 ?),故当 匕4时，QA QB取最小值，此时 Q 4, 4, 3 .14.给出下列命题： 若Ab= Cd，则必有 A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段； 若a b0，则a，b是钝角； 若a为直线I的方向向量，贝U 减疋R)也是I的方向向量； 非零向量a, b, c满足a与b, b与c, c与a都是共面向量，则 a, b, c必共面.其中不正确的命题为 .(填序号)答案解析 错误
11、，如在正方体 ABCD AiBiCiDi中，nAB = A1B1，但线段 AB 与 AiBi 不重合；错误，a b 0? - n而钝角的取值范围是g, n；错误，当冶o时，怡=0不能作为直线i的方向向量；错- 误，在平行六面体 ABCD AiBiCiDi中，令AB= a, AD = b, AAi = c,则它们两两共面，但 显然AB, AD , AAi是不共面的.二、解答题(本大题共6小题，共90分)i5. (i4 分)已知空间三点 A( 2,0,2), B( i,i,2), C( 3,0,4)，设 a= AB, b= AC(i)求a和b的夹角0的余弦值；若向量ka+ b与ka 2b互相垂直，
12、求 k的值.解 a= Ab = ( i,i,2) ( 2,0,2) = (i,i,0),b= Ac= ( 3,0,4) ( 2,0,2)= ( i,0,2).，八a b(i)cos 0=|a |b|-i + 0 + 0 竝 =,2X .,5 = i0 ,a与b的夹角0的余弦值为一石.ka + b= (k,k,0) + ( i,0,2) = (k i, k,2),ka 2b= (k, k,0) ( 2,0,4) = (k + 2, k , 4),(k i, k,2) (k+ 2, k, 4)即 2k2+ k i0= 0,=(k i)(k+ 2) + k2 8= 0.16. (14 分)已知空间内
13、三点 A(0,2,3), B( 2,1,6), C(11,5).求以向量aB , AC为一组邻边的平行四边形的面积s；若向量a与向量Ab, Ac都垂直，且|a|= .3,求向量a的坐标.解 -.AB= ( 2, 1,3), AC = (1 , 3,2),cosZBAC =AB AC _7_ 1|AB|AC|，14八 142又 VzBAC 0 180 ,启AC= 60 /S= |AB|AC|sin60 =7.3.(2)设 a= (x, y, z),由 a JAB,得一2x y+ 3z= 0,由 alAC，得 x 3y+ 2z= 0,由|a|=3，得 x2 + y2 + z2= 3,x= y= z= 1 或 x = y= z= 1.a= (1,1,1)或 a= ( 1, 1， 1).17. (14分)如图所示，已知几何体 ABCD A1B1C1D1是平行六面体.C(1)化简1AT + Bc+ 3AB，并在图上标出结果；一1f设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且 &N= 4C1B,设MN=aB + AD + yAA，试求 a,丫的值.解(1)取AA1的中点E,在D1C1上取一点F，使得D1F = 2FC1，连结EF ,角坐标系，设 AC= BC= BB1
