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1、直线与圆的方程题型总结(2022版)题型一：直线的倾斜角及斜率1倾斜角定义：把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0。2倾斜角的范围3.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.4斜率的定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即：tan(90)；倾斜角为90的直线没有斜率；5斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；6斜率的应用：证明三点共线： 例1.直线的倾斜角是( )A. B. C. D. 例2.直线的倾
2、斜角的范围是_.例3.直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是( )A B. C. D.例4.直线l与两直线y=1,xy7=0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是(1，1)，那么直线l的斜率是_.例5.两条直线，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是_.例6.直线y=绕原点按逆时针方向旋转30后所得直线与圆的位置关系是_.例7.过经过的直线的倾斜角为，且，那么的取值范围_.例8.点的直线的倾斜角的范围 ,那么m值的范围是_.例9.两条直线斜率相等是这两条直线平行的_条件.例10.曲线与直线有两个公共点时，实数k的取值范围是_.例11.实数满足，那么的最大值、最小值分别为_
3、.例12.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为如果是围成的区域含边界上的点，那么的取值范围是 .例13.假设三点共线 那么的值为_.例14.假设过点的直线与曲线有公共点，那么直线的斜率的取值范围为_. 题型二：直线的方程直线方程的形式：名称条件方程说明斜截式斜率轴上的截距不包括垂直于轴的直线点斜式点P(x,y)，斜率=k不包括垂直于轴的直线两点式不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式轴上的截距a轴上的截距b不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0A、B不同时为0设直线方程的一些常用技巧：1知直线纵截距，常设其方程为；2知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时
4、，那么其方程为；3与直线平行的直线可表示为；4与直线垂直的直线可表示为.注：求直线方程的根本思想和方法是恰中选择方程的形式，利用待定系数法求解。例15.l过点，且它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，那么l为_.例16.过点的直线分别交轴、轴的负半轴于两点，当最小时，直线的方程是_.例17.直线的倾斜角为，满足，并且在轴上的截距为1，那么直线方程为_.例18.直线经过P2，3，且在两坐标轴上的截距相等，那么该直线方程为 .例19.直线过点P-2，1，倾斜角与直线的倾斜角互补，那么直线的方程是 .例20.过点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 .例21.直线过点，且与轴、轴的正半轴
5、分别交于两点，为坐标原点，那么三角形面积的最小值为_.例22.，那么直线不经过 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限例23.直线，不管m怎样变化恒过点_.例24.，直线过定点_.例25.函数1的图象恒过定点A，假设点A在直线上，其中，那么的最小值为 .x+y+=0x+y+=0与组成的方程组平行且或无解重合且有无数多解相交 有唯一解垂直题型三：直线与直线的位置关系例26.设aR,那么“a=1是“直线l1:与直线l2:平行的_条件.例27.“是“直线与直线互相垂直的 条件. 例28.直线的方程为，那么与平行，且过点1，3的直线方程是_. 例29.三边的方程为：，；1判断三角形的形状；2当
6、边上的高为1时，求的值。例30.设分别是ABC中A、B、C所对边的边长，那么直线与的位置关系是_.真题：【2022高考陕西，理15】设曲线在点0,1处的切线与曲线上点处的切线垂直，那么的坐标为 【2022辽宁理】定义在上的函数满足：；对所有，且，有. 假设对所有，那么k的最小值为 A B C D【2022新标2理】点A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两局部，那么b的取值范围是( )A(0,1) B. C. D.【2022江西理】在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，那么=【2022四川文】在平面直角坐标系内，到点A
7、(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_【2022四川】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，那么的最大值是_，的取值范围是_,【2022辽宁】点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)假设OAB为直角三角形，那么必有( )Aba3 Bba3 C(ba3)0 D|ba3|0题型四：点与直线及平行线间的距离问题点到直线的距离及两平行直线间的距离：1.点到直线的距离；2.两平行线间的距离为例31.直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 例32.P点在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为1,那么P点坐标为 例3
8、3.假设点P(a,3)到直线4x3y10的距离为4，且P在不等式2xy30表示的平面区域内，那么a的值_例34.过点P(1,2)作直线l，使直线l与点M(2,3)和点N(4，5)距离相等，那么直线l的方程为_例35.直线及点1证明直线过某定点，并求该定点的坐标2当点到直线的距离最大时，求直线的方程题型五：对称中心对称和轴对称问题代入法：1.点关于轴的对称点的坐标为 ；关于轴的对称点的坐标为 ； 关于的对称点的坐标为 ；关于的对称点的坐标为 .2.点关于直线的对称点的坐标的求法： 1设所求的对称点的坐标为，那么的中点一定在直线上.2直线与直线的斜率互为负倒数，即3.直线关于直线的对称直线方程的求
9、法： 在直线上去两点其中一点可以是交点，假设相交求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； 轨迹法(相关点法)； 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，4.点关于定点的对称点为，曲线：关于定点的对称曲线方程为.5.直线系方程： 与直线平行的直线系方程为 与直线垂直的直线系方程为 过直线和的交点的直线系的方程为：不含例36.点关于直线的对称点为_.点关于直线的对称点为_例37.直线关于直线对称的直线的方程为_例38.点关于点的对称点坐标是_例39.直线关于点对称的直线方程_例40.直线关于直线对称的直线方程为_例41.一条光线从点射到直线后，再反射到一点，这条光
10、线从A到B的长度为_例42.直线与的夹角平分线为，假设的方程为，那么的方程是_.例43.、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，那么光线所经过的路程是_.例44.ABC顶点A(3，)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y59=0，B的平分线所在的方程为x4y+10=0，那么BC边所在的直线方程为_.例45.点，在直线上求一点P，使最小.例46.直线2xy4=0上有一点，它与两定点A4,1、B3,4的距离之差最大，那么P的坐标是_.真题：【2022高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，那么反射光线所在直线的斜率为 A或 B 或 C或 D或【20
11、22湖南文】在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点如图.假设光线经过的中心，那么等于 A B C D 题型六：圆的标准方程及一般方程1.圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆2. 圆的标准方程 ： 圆心为，半径为，假设圆心在坐标原点上，这时，那么圆的方程就是3圆的一般方程：只有当时，表示的曲线才是圆，把形如的方程称为圆的一般方程当时，表示以-，-为圆心,为半径的圆；4圆的参数方程：1圆心为原点半径为r的圆的参数方程 为参数例47.设方程1当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。2当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。3求圆心的轨迹方程例48
12、.求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系例49.圆和点，点P在圆上，求面积的最小值例50.求经过点，且与直线和都相切的圆的方程例51.如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是 .例52.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么点的轨迹方程为 A. B. C. D.真题：【2022高考北京，文2】圆心为且过原点的圆的方程是 A BC D【2022高考新课标2，理7】过三点，的圆交y轴于M，N两点，那么( )A2 B8 C4 D10【2022山东文】圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，那么圆的标准方程为题型七：点与圆、直线与圆的位置关系点与圆的位置关系：给定点及圆.在圆内在圆上在圆
