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1、第六章傅里叶积分 28.非周期函数的傅里叶积分非周期函数看成周期为a的周期函数，由实数形式的傅氏展开式于/k兀xk兀x、f (x)=工(a cos + b sm)klklk = 0令0兀丄兀,2兀L k兀LII l分别为 , , L L012 k则上式可表示为f (x)仝(a cos x + b sin x)kkkkk =0兀注意到A = =当周期趋于8时k+1k ld。因此，对于周期为8的周期函数f (x) = limS丄 Jl f (g)cos gdgcos x+ Jl f (g)sin gdgsin x i* l -ikk l -ikkk=0k=lim 1 Jl f (g)coso gd
2、gcoso xAo+A Jl f (g)sino gdgsino xAo i兀-ikk兀-ikkk=0k卜己卩 f(g)sinoggsinxdD0兀g垐垐，垐垐垐限 Jg1 Jgf(g)cosogdgcOxdD+(賦/炖心0兀-gg -i令 A()=丄 Jg f (x)cos xdxB()=丄 Jg f (x )inxdx兀 -g兀 -g则周期为8的非周期函数f(x)的傅氏级数变为傅氏积分 f (x) =Jg Acosxdto+Jg B(w)sinwxdto0 0其中A()和B()为f(x)的傅里叶变换式。由复数形式的傅氏展开式:f (x)二 Ck k =-g则当周期21 *时，,kLxei
3、11 .皿Ck= 2/ 丿(x)(ei 1)*dxf (x )e-1.k兀x.k兀x-i i dxez if (x)二 lim1 s、21k =g-lim11 f (x)e 叭 xdx eikx Ao12 兀1k =s-Jg - Jg f (x)e-ioxdxeioxdo 82 兀gf (x) - J g F (o)eioxdog1其中F(o )-_J g f工飙*dx ,称为f(x)的傅氏变换，可记为 2k gF(o ) - Ff (x) f (x) - F-iF(o)傅氏积分的性质： f (x)的傅氏变换iF(o)1 J f (x)dx的傅氏变换二肓F(o ) 延迟定理 F f (x) -
4、 F (狈旧 f (x x0) - F (o)e-iox0 位移定理(x) - F(oo0) 卷积定理 FJg f (g)f (x-g)dg - F (o) F (o) 2kg 1212傅氏变换和拉氏变换的关系：傅氏变换是拉氏变换中p取纯虚数io 的特殊形式，傅氏变换中对f(x)的要求比较严格，而拉氏变换中仅要 求f(x)随X的增长速度不快于e Repx周期函数和非周期函数的频谱的区别：周期函数的傅氏变换式频k谱是分立的k =7兀，A =J，而非周期函数的傅氏变换式中的频谱是连续的T 0。三维空间中的傅氏变换式F(k)eik-rdk dk dk123一g- 1 f (r)=(2兀)3/2gdk
5、 三 dk dk dk123fflF (k )eik-rdkf1gfF( k)=ffl f ( r)磴芦)dxdydz(2 3)g1F ( k )=f ( r)矽)d r(23)/ 2gdr 三 dxdydz0,t 一T例1.研究矩形脉冲f(t)= hT t T的频谱。0,T 020, m = 0兀c一 ,m 02(卜 Sin mXdx 二 1 Jo x2 g x-Sin mxdx = 1 卜2i s(eimx eimx )dx )x则：A() = v1, 0i1A(w)1Bl.0Qw 29 5函数和它的傅里叶积分函数是数学物理中很重要的数学概念，它描写空间中的点源 和时间上瞬时源，它是广义函
6、数。 29.1 一维5函数的定义在物理上通常需要描写自变量取某个特定值时函数值为无穷大, 而自变量取其他值时，函数值为零，但函数沿定义域的积分值有限。 即：8(x - x)=0)fg0x-E0Jg5(x - x )dx=10-g05 29.2 函数的性质1.对于任意缓变的连续函数f (x) fg 5 (x - x )f (x)dx=J%+ 5 (x - x )f (x)dx-g0x-E0xG(x -e,x +s)f(x/o+E5(x-x )dx=f (x) E=0 f (x)0 0 E 0 0x0-Ef2. &(-x) =5(x)卜 f (x)5 (-x)dx匸x-J-g f (-t)5 (t
7、)dt =f (-t)5 (t)dt = f (0)gg-gJ g f (x)5(x)dx = f (0)n5(x) =5(-x)-g3. f (x)5 (x - a) = f (a)5 (x - a)Jg f (x)5 (x - a)dx = Jg f (x)5 (a - x)dx = f (a)glglJg f (a)5 (x - a)dx = f (a)-g4. x5 (x) = 0Jg f (x)5(x)d/=)Jg x5(x)dx = 0 即 x5 (x)在积分号下的作用-g-g同零。5. 5 (ax)如報雷套 X (XM -Hk .01/J (x)np8 882亠+8(3嘤 H x
8、w 嘤亠(32丄3嘤.63sgaTu)gn32 (Y)g 也3(SIH罕)S2 gof xp xp 0 D D 0KK)2qj q(KK)參二 2xp 0xp0(KK)2P o f xp xp (g 0)UJK (T) H xp 0 E 厂/PJ 卞(X X)QPusqu)2K9JOOH(q)JH 8 8 t 8 豊ng 8HW!AU) J 8 p (qK)g 8H 8 0 t 8 08夂.9_d 8 - b -W4SJ-7目 H- - - 8 8 8 8 知S夂T)J亠訓交一卫)夂 8寻_卫)匸亠型貢)冬匸亠8 b b D 81O)J U(.)2(7)J亠剳电总令匸 亠 工- 00 00 -
9、X3 - 008氏HA) 288 8电w?.0)计算积分ZZZJxi“ f (x)5 Q (x)dxy=(x) JQ(xi“) f (x)5 (y) d、xZ -sdy = d Q (x) dx Q (xZ -s )Q( x )f (xi),申(x ) 0 申(x )ii(x ) 01 申(x)l申(x )ii于是卜f (x)5(p(x)阳工 f W 卜 f (x)5(x - x )dx= f (x )卜 f (x)工5(x -1)dx -gI申(x)l pii YI申(x)li=i则有5叩(x) = E 5 (x孚则有I申(x )IZi特例5 (x - a)(x-b) a 主 b?_(x -
10、 a )+5 (x-b)_| La -b|L5 (x2 - 02 區0 命卩(x - a)+5 (x+诈命】5 (x - a)+5 (x+淖 29.3函数的付氏积分(表示)8 (x)=fg cGLxdwncGLL n8 (x)=_L fg eixdw g22 g11 sinkxa.8(x)=lim2_f keW = lim:该极限并不存在但对于a0bkg2 kkg 兀 xlimf丄出dx = 1 fg 皿dy = 1k g a 兀 x兀-g yb8（x）= liml8T+）e 29.4三维函数及其付氏积分8T40 兀 8 2 + X2f0 e(8+ixbd+fg e(-8+ixbd = lim 2k g08 (r r )=0r = ro n r丰r0g(2兀)3f fff (r)8 (r - r )d3r = f (r )f ff (r - r )d3r = 10gr0)d 3k8(rr )=fff c ( )e ik (rg8 (r r )=0f ff eik (rr0)d3k =8 (x x )8 (y y )8 (z z ) (2k )3000
