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1、第4节 双曲线课时作业基础对点练(时间：30分钟)1已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与圆x2y210x0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为()(A)1(B)1(C)1 (D)1A解析：因为圆x2y210x0的圆心为(5，0)，所以c5，又双曲线的离心率等于，所以a，b2，故选A.2已知F1，F2分别是双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M，N，已知MF2N是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是()(A) (B)2(C)1 (D)2C解析：由已知得2c，即c22aca20，所以e22e10，解得e1，又e1，所以e1，故选C
2、.3已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为()(A)1 (B)1(C)1 (D)1A解析：依题意解得双曲线C的方程为1.故选A.4已知双曲线C：1(a0，b0)的焦点为F1，F2，点P是双曲线C上的一点，PF1F215，PF2F1105，则该双曲线的离心率为()(A) (B)(C) (D)D解析：由正弦定理可得：|PF1|PF2|F1F2|sin 105sin 15sin 60()()2不妨设|PF1|()m，|PF1|()m，|F1F2|2m(m0)，结合双曲线的定义有：2a|PF1|PF2|2m，2c|F1F2|2m，双曲线的离心率为：e
3、.故选B.5将双曲线1(a0，b0)的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫作双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2y24的“黄金三角形”的面积是()(A)1 (B)22(C)1 (D)2B解析：双曲线C的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别是(2，0)、(2，0)、(0，2)，所求面积S(22)222.故选B.6(2018合肥三模)已知双曲线C：1(a0，b0)的上焦点为F，M是双曲线虚轴的一个端点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点若M为AF的中点，且|6，则双曲线C的方程为()(A)1 (B)1(C)y21 (D)x21C解析：双曲线C：1(a0，b0)的上焦点为F，M是双
4、曲线虚轴的一个端点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点，若M为AF的中点，且|6，可得F(0，c)，M(b，0)则A(2b，c)，由题意可得，解得a1，b2，所以双曲线C的方程为y21，故选C.7(2018益阳4月)设双曲线：1(a0，b0)的左焦点F(c，0)，直线3xy3c0与双曲线在第二象限交于点A，若|OA|OF| (O为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为()(A)yx (B)yx(C)yx (D)yxC解析：由题意知，双曲线右焦点F(c，0)，又|OA|OF| ，所以|OA|OF|OF|，则AFF为直角三角形，即FAFA，则|AF|，|AF|，由双曲线定义得2a|AF|AF|，即a，
5、则b，所以双曲线的渐近线方程为yx.故选C.8(2018抚顺模拟)已知焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段FA的垂直平分线与双曲线C没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是_解析：焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A F(c，0)，A(a，0), 线段FA的垂直平分线与双曲线C没有公共点a e3 e(1，) 1e3答案：1e39若双曲线1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为_解析：双曲线的一条渐近线方程为bxay0，一个焦点坐标为(c，0)根据题意：2c，所以c2b，ab，所以e.答案：10在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的
6、焦距是_解析：由a，b，c之间的关系确定c，再写出焦距2c.由双曲线的标准方程，知a27，b23，所以c2a2b210，所以c，从而焦距2c2.答案：2能力提升练(时间：15分钟)11(2018新乡三模)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，对称中心为O，右焦点为F，点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOFOAF，OAF的面积为3，则双曲线C的方程为()(A)1 (B)y21(C)1 (D)1D解析：由题点A所在的渐近线为bxay0三个该渐近线的倾斜角为，则tan ，AOFOAF，所以直线AF的倾斜角为2a，tan 2.则AF：y(xc)与bxay0联立解得A，SAOFcab
7、3.因为双曲线的离心率e，与ab3联立得a3，b，故双曲线的方程为1.故选C.12(2018烟台二模)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，第一象限的点M在双曲线C的渐近线上且|OM|a，若直线MF的斜率为，则双曲线C的离心率为()(A) (B)(C) (D)C解析：双曲线1的渐近线方程为yx，第一象限的点M在双曲线C的渐近线上，设M，则kMF，x0，故而M，|OM|a，整理得c22a2，即e22，所以e.故选：C.13(2018衡水中学)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则双曲线的渐近线的斜率为
8、()(A) (B)(C)1 (D)C解析：A1(a，0)，B，A2(a，0)，C，所以A1B，A2C，根据A1BA2C，所以0，代入后得c2a20，整理为1，所以该双曲线渐近线的斜率是k1，故选C.14中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆：(x2)2y21都相切，则双曲线C的离心率是()(A)或 (B)2或(C)或2 (D)或C解析：设双曲线的其中一条渐近线方程为kxy0(k0)，因为直线kxy0与圆(x2)2y21相切，则1，解得k；当焦点在x轴上时，解得e；当焦点在y轴上时，解得e2.故选C.15已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C
9、2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2，求k的取值范围解析：(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故双曲线C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得，k22，即x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范围为.16已知圆锥双曲线E：x2y21.()设曲线E表示曲线E的y轴左边部分，若直线ykx1与曲线E相交于A，B两点，求k的取值范围；()在条件()下，如果6，且曲线E上存在点C，使m，求m的值解析：()设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组；(1k2)x22kx20(x0)1k20(2k)28(1k2)0x1x20从而有：x1x20k1为所求()6|x1x2|2，整理得28k455k2250k2或k2，注意到k1，所以k，故直线AB的方程为xy10设C(x0，y0)，由已知m(x1，y1)(x2，y2)(mx0，my0)，又x1x24，y1y2k(x1x2)28，所以C.C在曲线E上，得1m4 但当m4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，所以m4为所求5
