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1、巧用旋转法解几何题旋转变换是平面几何中常见的一种转化思想，通过旋转几何图形的某一部分可将几何图形中看似无关的线段作为等量转移建立数量关系，从而达到简化问题的目的。试看以下几例：例1如图1，在RtABC中，C=90，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DEDF，求证：EF2=AE2+BF2分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。CF 证明：延长FD到G，使DG=DF，连接AG，EGAD=DB，ADG=BDFEADGBDF（SAS
2、）ABDDAG=DBF，BF=AG GAGBC 图1C=90EAG=90EG2=AE2+AG2=AE2+BF2DEDFEG=EFEF2=AE2+BF2例2，如图2，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。M解：作MCCP，使MC=CP，连接PM，BMACB=90，PCM=901=2CAC=BC， CAPCBM（SAS）PMB=AP=3PC=MC，PCM=9
3、0图2BMPC=45A由勾股定理PM=2，在MPB中，PB2+PM2=（2）2+12=9=BM2MPB是直角三角形BPC=CPM+MPB=45+90=135例3，如图3，直角三角形ABC中，AB=AC，BAC=90EAF=45，求证：EF2=BE2+CF2分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE，CF转移到同一个直角三角形中，由于BAC是等腰直角三角形，不妨以A为旋转中心，将BAE和CAF合在一起，取零为整。A证明：过A作APAE交BC的垂线CP于P，连结PFEAP=90，EAF=45PPAF=45BAC=90 BAE=PAC图3EFBCAB=AC， B=A
4、CB=ACP=45ABEACP（ASA）PC=AE，AP=AEAEFAPF（SAS）EF=PF故在RtPCF中，PF2=CF2+PC2即EF2=CF2+AE2例4，如图4，正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，且EBF=45，BMEF于M，求证：BA=BM分析:本题与例3相同之处在于直角三角形家夹有45角，可利用相同的方法，将ABE和CBF“化散为整”来构造全等三角形。证明：延长FC到N，使CN=AE，连结BNNBC四边形ABCD是正方形FAB=AC，BAC=90MEBF=45ABE+CBF=45AED由ABECBN知BE=BN，CBN=ABE图4CBN+CBF=45，即EBF=NBF又
5、BE=BN，BF=BFEBFNBF（SAS）BM=BCBM=BA 从以上几例来看，都巧妙地运用了旋转的方法构造全等三角形，或借助中点，或旋转一角，通过将相关线段和有关的角转移到一个直角三角形中，运用勾股定理及它的逆定理来达到解题的目的。1.（2012福建宁德13分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰ABC中，ABAC，BAC90，小敏将一块三角板中含45角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E(1) 小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分MAB，则AE也平分MAC请
6、你证明小敏发现的结论；(2) 当045时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2CE2DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，连接EF(如图2)；小亮的方法：将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG，连接EG(如图3)请你从中任选一种方法进行证明；(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45135且90时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立现请你继续探究：当135180时(如图4)，等量关系BD2CE2DE2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由2. （1）如图，在正方形ABCD中，
7、AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD=90，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45，将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长3. 已知，正方形ABCD中，MAN=45, MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AHMN于点H（1）如图，当MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ；
8、 （2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长（可利用（2）得到的结论）图解：（1）如图AH=AB（2）数量关系成立.如图，延长CB至E，使BE=DNABCD是正方形AB=AD，D=ABE=90RtAEBRtANDAE=AN，EAB=NADEAM=NAM=45AM=AM AEMANMAB、AH是AEM和ANM对应边上的高，AB=AH（3）如图分别沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和ANDBM=2，DN=3，B=D=BAD=90分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD. 设AH=x，则MC=,NC= 图在RtMCN中，由勾股定理，得 解得.（不符合题意，舍去）AH=6.
