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1、一、直线过定点问题过定点模型：A,B是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中a,卩分别为MA,MB的倾斜角,则有下面的结论： 、MA MB为定值o直线AB恒过定点； 、k -k为定值o直线AB恒过定点；MA MB 、a +（0 0 0b0上任一点A（x0, y0）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于一7b 2 xB,C两点，则直线BC有定向且k = 亠（常数）.（求偏导可得到）（类似结论适合于双曲 BC a 2 y线，抛物线）x2 y 22、 设椭圆一 + = 1 （ ab0）的两个焦点为F、F ,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一a 2 b21 2sin exc点，在 APFF 中，记 ZFPF
2、 =a , ZPF F =0 , ZFF P =y，则有=一 =e.1 21 21 21 2sm 0 + sm 丫 ax 2 y 23. 椭圆一 +1 = 1与直线Ax + By + C = 0有公共点的充要条件是A2a2 + B2b2 C2a 2 b2x2 y 24.已知椭圆一 + = 1 （ ab0）, O为坐标原点，P,Q为椭圆上两动点，且OP丄0Q.（对 a 2 b2原点张直角）1)1 1 1 1+ = + ;I OP |2| OQ |2 a2 b2 |OP|2 + |OQ|2的最大值为4a 2b 2a 2 + b 23) SAOPQ的最小值是a2b2a 2 + b 22ab 2ab4
3、）直线PQ必经过一个定点（，0） ； 5）点O到直线PQ的距离d为定值：da2 + b2Ja2+b2x2 y 25 .过椭圆一 + 1 = 1 （ ab0）的右焦点F作直线交椭圆于M,N两点，弦MN的垂直平分 a2 b2线交x轴于P| PF |则 I MN I类比过双曲线药-右=1（Ao，B 0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于p,则imNi=2I MN I 2x2 y26. 设椭圆+ = 1 （ab0），M （m, 0）或（0, M）为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，a2 b2过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P A2Q（Ai A2为对
4、称轴上的两顶点）的交点N在直线1: x = （或y =）上.（用极点与极线直接写出来）mmx2 y 2+ T =1（a b 0）p（x y）7、椭圆中的过定点模型：A,B是椭圆a2 b2上异于P（Xo, yo）的两动点，其中a,卩分别为PA,PB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：(手电筒模型兀PA 丄 PB o k - k =一1 o|a 卩|= o直 线 AB 恒 过 定 点DA DB2x (a2 一 b2)y (a2 一 b2)(-0, 一 0 )a 2 + b 2a 2 + b 2乂一 21 = i(a b 0) 类比给定双曲线 C： a2 b2,a 2 + b 2a 2 + b
5、2 、对C上任意给定的点P(x ,y )，它的任一直角弦必须经过定点(x，-y ).000a2 一 b2 0 a2 一 b2 08、抛物线中的过定点模型：A,B是抛物线y2二2px(p 0)上异于D(X0,人)的两动点，其中a,卩分别为DA,DB的倾斜角，则可以得到下面充要的结论：(手电筒模型兀DA丄DB ok -k =1 o|a 卩|= o直线 AB 恒过定点DA DB2(X + 2p, y )00兀特别地 OA丄OB o k - k =一1 o|a 卩卜 o直线AB恒过定点(2 p,0).OA OB112x2 y29、 设P点是椭圆+= 1 ( ab0 )上异于长轴端点的任一点，F,F为其
6、焦点记a2 b21 2ZFPF =9 ,(2) S二 b 2 tan -.APF1F2212则(1)1 PF II PF 1=竺-121+ cos9x2 y 2(双曲线一 一 1 = 1 (a0,b0)中，Sa 2 b2b2=一云，其中 0=ZFPF.)12AF PF91 21 2 tan2椭圆上的动点可设(a cos 9, b sin 9)x 2y 2f x = a cos910-椭圆施+厉=1(a b 0)的参数方程是y = bsin9对于y2 = 2px(p 0)抛物线上的动点的坐标可设为(#!, y0),(抛物线独有的一点两设)以简化计算.双曲线的方程与渐近线方程的关系x2 y 2x2
7、 y2(1)若双曲线方程为一=1 =渐近线方程：一=0 O y = x.a 2 b2a2 b2a若渐近线方程为y = x O - 刍=0 =双曲线可设为-二=九.a a a 2 2x2 y 2x2y 2若双曲线与一 -J = 1有公共渐近线，可设为-1 =九(九0，焦点在x轴上，九 )焦点的弦，A(X , y )、(X , y )，直线AB的倾斜角为。，1 1 2 2 则p21- X 2=亍人 y2 =- P 2；2. |AF | = x + P =IBF=x2+p =P1 + cos 03.2 pI AB = x + x + p =; 4.11 i 2sin2 01 1 2+ =| FA|
8、| FB| PSA 0 ABP 22sin 0圆锥曲线的切线问题(用极点与极线直接写出来)(证明需要求偏导)1. 过圆 C:(xa)2+(yb)2=R2上一点 P(x0,y0)的切线方程为(X0-a)(x-a) + (y0-b)(y-b)=R2.2. 若P(x, y )在椭圆兰+ 21 = i上，则以P为切点的切线的椭圆的切线方程是半+寻=1.0 0 0a 2 20a 223若P (x , y )在双曲乂-琴=1 (a0, b0)上，则过P的双曲线的切线方程是翠-孝=1. 0 0 0a 2 20a2 24.已知点M(x0,y0)在抛物线C:y2=2px(pM0)上时，M为切点的切线l：y0y=
9、p(x+x0).(切点弦结论完全相同，用极点与极线直接写出来)圆锥曲线的中点弦问题(点差法)(广义的垂径定理)(也适合于相切情况)x 2y 22AB是椭圆a_ + _ =1的不平彳亍于对称轴的弦,M (x 0,y 0)为AB的中点，则k0M - kAB =-忌=小，即KAB2x亠。a2y0x 2y 22AB是双曲线庄-厉=1的不平行于对称轴的弦,m (x0，y 0)为ab的中点，则koM - kAB=a； =e2-1即KABb2x0。a2y0（上面是焦点在X轴上）（焦点在Y轴上取倒数） 圆锥曲线定点问题大全结 论 序 号曲线类 型曲线方程曲线上 定点Pk , k分别是直线PM, PN的1 2斜
10、率，M, N是曲线上异于点P的两点证明MN直线恒过定点T（x , y ）或直线MN的T T斜率k 为定值MN结 论1椭圆x 2y 2+ =1(a b 0) a 2b 2(xo, y0)k + k = X = 01 2,b2 xk =0mna 2 y0k + k = X H 01 2(2y2b2)(x 一 ，一y 一 x )0 X0Xa2 0b 2k k = X =1 2a 2k =-爲MNx0b 2k k =X h 2a 2(Xa2 +b2Xa2 +b2)Xa2 b2 0 Xa2 b2 0结 论2双曲线x 2y 2一=1(a 0, b 0) a 2b 2(x0, y0)k + k = X = 01* 2tb 2 xk = 0mna 2 y0k + k = X h 01 2(x. 0,. x y )0 XX a 2 00b 2k k = X =1 2a 2k =-耕MNx0k*k =X h竺1 2a 2(X a 2 b 2X a 2 b 2)Xa2 + b2 0Xa 2 + b2 0结 论3抛物线y2 = 2 px ( p 0)(x0, y0)k + k = X = 01* 2k MNy0k + k = X h 01 2(2 y2 p)(x 一y)0 X X0k k = X h 01 2(x -牛厂y)0 X0
